aibė

áibė, pirminė matematikos sąvoka. Suprantama kaip rinkinys kokių nors objektų, sujungtų į vienumą pagal kurį nors požymį (pvz., mokyklos mokinių aibė, Saulės sistemos planetų aibė, visų natūraliųjų skaičių aibė, turimos lygties šaknų aibė, visų tiesės taškų aibė). Aibę sudarantys objektai vadinami jos elementais. Jei objektas a yra aibės X elementas, tai rašoma: a ∈ X. Nusakyti aibę reiškia nurodyti jos elementų būdingąją savybę. Jei nėra pasirinktą savybę turinčių objektų, sakoma, kad ta savybė apibrėžia tuščiąją aibę. Skiriamos baigtinės aibės (jų elementų skaičius baigtinis, pvz., raidžių aibė knygoje) ir begalinės aibės (jų elementų skaičius nėra baigtinis, pvz., visų racionaliųjų skaičių aibė). Jei visi aibės X elementai yra ir aibės Y elementai, tai X yra aibės Y poaibis; užrašoma taip: X ⊆ Y arba Y ⊇ X (kartais tik X ⊂ Y arba Y ⊃ X). Jei X ⊂ Y ir Y ⊂ X, tai X = Y. Tuščioji aibė laikoma kiekvienos aibės poaibiu. Aibių sistemos (dviejų, trijų, bet kurio baigtinio ar begalinio aibių skaičiaus) sąjunga vadinama aibe visų elementų, kurių kiekvienas priklauso bent vienai tų aibių (tačiau bendrieji elementai į sąjungą įeina tik vieną kartą); tų aibių sankirta vadinama aibė elementų, priklausančių visoms sistemos aibėms. Dviejų aibių X ir Y sąjunga žymima X ∪ Y arba X + Y (pvz., {a, b, c} ∪ {b, c, d} = {a, b, c, d}, sankirta – X ∩ Y arba XY (pvz., {a, b} ∩ {b, c, d} = {b}. Aibių sąjunga ir sankirta yra komutatyvios, asociatyvios, distributyvios. Aibių X ir Y skirtumu vadinama aibė elementų, priklausančių X, bet nepriklausančių Y; žymima X \ Y arba X – Y (pvz., {a, b} – {b, c, d} = {a}). Jei X ⊂ Y, tai skirtumas Y \ X dažnai vadinamas aibės X papildiniu iki aibės Y. Aibių X ir Y dekartine sandauga vadinama aibė visų dvejetų {x, y}, kai x ∈ X ir y ∈ Y; žymima X × Y. Jei aibė X turi m, o aibė Y n elementų, tai X × Y turi m·n elementų (pvz., jei X = {a, b}, Y = {a, c}, tai X × Y = {(a, a), (a, c), (b, a), (b, c)}). Panašiai apibrėžiama ir didesnio aibių skaičiaus sandauga. Baigtines aibes kiekybiškai palyginti galima pagal jų elementų skaičių. Begalinių aibių šitaip lyginti nėra prasmės, todėl įvedama ekvivalenčiųjų aibių sąvoka. Dvi aibės yra ekvivalenčios, jei tarp jų elementų galima abipusiškai vienareikšmė atitiktis. Dvi baigtinės aibės yra ekvivalenčios tada ir tik tada, kai jos turi tiek pat elementų. Elementų skaičius yra bendra savybė, kuri apibūdina visas ekvivalenčiąsias baigtines aibes. Analogiška skaičiui bendra visų tarpusavyje ekvivalenčių (vis tiek, ar jos baigtinės, ar begalinės) aibių savybė vadinama aibės galia, arba kardinaliuoju skaičiumi. Ekvivalenčios aibės yra vienodos galios. Visų natūraliųjų skaičių aibei ekvivalenti aibė vadinama skaičiąja. Visų racionaliųjų ir algebrinių skaičių aibės yra taip pat skaičiosios, o visų realiųjų skaičių aibių galia vadinama kontinuumo galia. Šią galią turi visų skaičiosios aibės poaibių aibės, visų transcendenčiųjų, visų iracionaliųjų, visų kompleksinių skaičių, visų plokštumos taškų aibės. Aibė vadinama sutvarkytąja, jei galima nurodyti taisyklę, nusakančią, kuris iš dviejų skirtingų tos aibės elementų laikomas pirmesniu. Pvz., visų sveikųjų skaičių aibė, kai mažesnis iš dviejų skaičių laikomas pirmesniu, yra sutvarkytoji aibė. Vienos svarbiausių aibių klasių yra tiesės, plokštumos, trimatės erdvės, daugiamačių ir apskritai metrinių erdvių taškų aibės. Taškas x vadinamas aibės X sąlyčio tašku, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra bent vienas aibės X taškas. Pats x gali ir nepriklausyti aibei X. Jei kiekvienoje x aplinkoje yra bent vienas aibės X taškas, nesutampantis su x, tai x vadinamas aibės X ribiniu tašku. Visi aibės X sąlyčio taškai sudaro jos uždarinį, o visi ribiniai – išvestinę aibę. Aibė, kuriai priklauso visi jos ribiniai taškai, vadinama uždarąja. Taškas x vadinamas aibės X vidiniu tašku, jei galima rasti jo aplinką, sudarytą tik iš X taškų. Tik iš vidinių taškų sudaryta aibė vadinama atvirąja. Taškų aibė vadinama jungiamąja, jei bet kaip suskaidžius ją į 2 poaibius, be bendrųjų elementų, bent viename iš tų poaibių bus kito poaibio ribinis taškas. Taškų aibėms įvedama mato sąvoka (aibės matas); matas yra geometrinių figūrų ilgio, ploto ir tūrio apibendrinimas.