aibių algebra

áibių álgebra, kokios nors aibės E, vadinamos universaliąja, poaibių sistema $\mathcal{F}$. Aibių algebra tenkina aksiomas: aibė E priklauso sistemai $\mathcal{F}$; jei aibė A priklauso sistemai $\mathcal{F}$, tai ir jos papildinys E \ A priklauso $\mathcal{F}$; jei aibės A ir B priklauso sistemai $\mathcal{F}$, tai ir jų sąjunga A ∪ B priklauso $\mathcal{F}$. Jeigu paskutiniojoje aksiomoje reikalaujama, kad sistemos $\mathcal{F}$ aibių sekos A₁, A₂, … sąjunga $\mathrm{\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ priklausytų sistemai $\mathcal{F}$, tai sistema vadinama aibių σ algebra. Įrodyta, jog kiekvieną aibės E poaibių sistemą galima papildyti naujomis aibėmis – E poaibiais, kad ji virstų aibių algebra arba net σ algebra. Pvz., kiekvienos aibės visų poaibių sistema yra aibių algebra ir σ algebra. Aibių algebra ir σ algebros sąvokos yra svarbios mato ir integralo teorijoje, griežtai apibrėžiant ir konstruojant matus. Paprastai iš pradžių matas apibrėžiamas kokioje nors aibių algebroje, po to pratęsiamas į platesniąją aibių sistemą – σ algebrą.

1690