aksiominė aibių teorija

aksiòminė áibių teòrija, aibių teorijos pateikimas aksiominiu metodu. Aksiominė aibių teorija imta kurti, kai G. F. L. P. Cantoro vadinamojoje naiviojoje (intuityviojoje) aibių teorijoje buvo surasta prieštaravimų (antinomijų). Jiems pašalinti buvo panaudota aksiomų sistema: aibių teorija imta traktuoti kaip aksiominė aibių teorija. Buvo sukurtos kelios aksiominės aibių teorijos. Pirmoji jų yra Zermelo ir Fraenkelio sistema, kurią E. Zermelo suformulavo 1908, o Abrahamas Fraenkelis papildė 1921–22. Ji griežtai ir aiškiai formalizavo G. F. L. P. Cantoro ir jo sekėjų metodus. Vėliau bandyta tobulinti Zermelo ir Fraenkelio aksiominę aibių teoriją (J. von Neumanno, P. Bernayso, Th. A. Skolemo ir kitų darbai). Aksiominė aibių teorija aibės sąvoką laiko pradine, apibrėžiama tik aksiomomis; tai lemia reliatyvųjį šios sąvokos supratimą. Ieškota aksiominė aibių teorijos tobulinimo būdų. Svarbūs K. Gödelio tyrimų rezultatai (formaliųjų sistemų neprieštaringumo ir nepilnumo teoremos). Kitą požiūrį į aksiominę aibių teoriją išreiškė A. N. Whiteheadas ir B. Russellas; jie sukūrė teoriją, kurioje išskiriami įvairių tipų (rūšių, laipsnių, lygmenų) kintamieji; tai pateikta veikale Matematikos principai (Principia Mathematica 3 t. 1910–13). Paprastojoje tipų teorijoje skiriami individai (elementai), klasės arba individų savybės, objektų santykiai, klasių savybės, santykių savybės ir kita. Skirstant kiekvieno tipo objektus į lygmenis tipų teorija išplečiama. Aibė čia nagrinėjama ne abstrakčiai, o atitinkamo tipo apimtyje. Tai leidžia išvengti paradoksų bei semantinių antinomijų. Tačiau ir tipų teorijos taikymas aksiominei aibių teorijai sukelia sunkumų. Įvairių aksiominės aibių teorijos versijų tyrimai parodė, kad aibės sąvoka nėra pakankamai preciziška ir ji įvairiais būdais tikslintina.