álgebra (arab. al-jabr – atstatymas, atitaisymas), matematikos šaka, tirianti veiksmų su įvairiais dydžiais (reiškiamais raidėmis) bendrąsias savybes, nepriklausomas nuo tų dydžių kilmės. Pvz., algebros formulė (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 yra teisinga bet kokiems dydžiams a ir b, kurių sudėtis ir daugyba komutatyvi ir distributyvi. Taigi jei a ir b reiškia vektorius su skaliarine daugyba, daugianarius ar kvadratines matricas, kurių daugyba komutatyvi, formulė yra teisinga. Algebros esminis požymis yra tas, kad joje nėra ribos sąvokos, svarbios analizėje ir funkcijų teorijoje. Algebra klasifikuoja dydžių sistemas pagal jų veiksmų savybes ir sprendžia tokiose sistemose iškilusius uždavinius, t. p. ir lygtis, kurių prasmė gerokai praplečiama (lygčių sprendiniai gali būti vektoriai, matricos, operatoriai). Algebrinė sistema (pvz., grupė, žiedas, kūnas, struktūra) yra bet kokių elementų aibė, kurioje apibrėžti veiksmai ir nurodytos veiksmų atlikimo taisyklės. Pagal algebrines sistemas algebra skirstoma į tiesinę algebrą, grupių, kūnų, žiedų, struktūrų teorijas. Tiesinė algebra tiria tiesines erdves. Baigtinio matavimo tiesinių erdvių teorija apibendrinama ir plėtojama funkcinėje analizėje. Tiesine algebra remiamasi beveik visose matematikos šakose, fizikoje, mechanikoje. Pvz., matricos naudojamos tiesinių diferencialinių lygčių sistemoms spręsti, simpleksų metodas – tiesiniam programavimui, matricos ir tiesinės transformacijos – teorinėje fizikoje. Grupių teorija nagrinėja įvairias grupes, jų sandarą ir savybes. Ji susijusi su atvaizdžių teorija. Grupės atvaizdžiu vadinamas grupės homomorfizmas į neypatingųjų n eilės kvadratinių matricų grupę. Tuo remiantis grupių savybės užrašomos skaitinėmis priklausomybėmis. Glaudus ryšys su diferencialinių lygčių sprendimu kvadratūromis lėmė tolydžiųjų grupių (Lie grupės) teorijos atsiradimą. Kūnų teorija tiria kūnų plėtinius. Kūno K plėtiniu vadinamas kūnas K′, kurio dalis yra kūnas K. Sukonstravus koeficientų kūno plėtinį išsprendžiama algebrinė lygtis. Pvz., lygties x2 + 1 = 0 šaknys randamos racionaliųjų skaičių kūno plėtinyje, kurį sudaro q + ri pavidalo skaičiai; čia q ir r – racionalieji skaičiai. Taip algebrinių lygčių teorija tampa kūnų teorijos dalimi. Kitos dvi kūnų teorijos šakos yra algebrinių skaičių kūnų teorija ir algebrinių funkcijų kūnų teorija. Jos siejasi su skaičių ir kompleksinio kintamojo funkcijų teorijomis. Žiedų struktūrą ir savybes nagrinėja žiedų teorija. Iš idealo sąvokos, atsiradusios kartu su žiedo elementų vienareikšmiu skaidymu pirminių daugiklių sandauga, išsirutuliojo idealų teorija, tapusi svarbiausia žiedų teorijos šaka. Kita žiedų teorijos šaka – algebrų teorija (algebra, hiperkompleksinė sistema). Jos skyrius – normuotoji algebra – sieja žiedų teoriją su topologine algebra. Viena naujausių algebros šakų yra struktūrų teorija. Struktūra yra algebrinė sistema, kurioje sudėtis ir daugyba yra komutatyvi ir asociatyvi bei galioja taisyklės: a + a = a, aa = a, a + ab = a, a(a + b) = a (a ir b – bet kurie sistemos elementai). Pvz., natūraliųjų skaičių aibė bendrojo didžiausiojo daliklio ir bendrojo mažiausiojo kartotinio radimo atžvilgiu yra struktūra. Struktūrų teorija siejasi su žiedų ir grupių teorijomis. Algebra naudojamasi įvairiose mokslo šakose, kur atliekami veiksmai, analogiški skaičių sudėčiai ir daugybai. Algebriniai metodai ir simbolika davė pradžią matematinei analizei. Pastaroji panaudojo raides kintamiesiems dydžiams žymėti; algebros formulės naudojamos funkcijoms diferencijuoti ir integruoti.
Istorija
Algebra – viena seniausių matematikos šakų. Atsirado senovės Rytuose ieškant bendrų metodų vienarūšiams uždaviniams spręsti. Tokių uždavinių iškildavo sudarant kalendorius, apskaičiuojant mokesčius, matuojant žemės sklypus. Algebrinio skaičiavimo pradmenų yra beveik 4000 metų senumo Babilonijos, Egipto, indų ir kinų rankraščiuose. Senovės graikų matematikai domėjosi daugiausia geometrija, todėl ir algebros uždavinius formuluodavo geometriškai. Iš antikos laikų išliko kvadrato sąvoka, naudojama antrajam laipsniui žymėti. Graikas Diofantas (apie 250) algebros uždavinius sprendė algebriškai ir algebrą atskyrė nuo geometrijos. Jo veikaluose naudojamos nesudėtingos algebros formulės. 6 a. indai naudojo neigiamuosius skaičius ir nulį, sutrumpintai žymėjo nežinomuosius dydžius ir jų laipsnius. Pirmąjį algebros vadovėlį (Knyga apie atstatymą ir priešpastatymą 825) parašė Chorizmi (atstatymu jis vadino atėminio perkėlimą iš vienos lygties pusės į kitą, priešpastatymu – nežinomųjų sukėlimą į vieną lygties pusę, o žinomųjų – į kitą. Atstatymas arabiškai – al džebr; iš to kilo algebros pavadinimas). Ilgą laiką algebra buvo lygčių sprendimo mokslas. 16 a., išsprendus trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtis (italų matematikai N. F. Tartaglia, G. Cardano, Lodovico de Ferrari), pradėta ieškoti metodų aukštesnio laipsnio lygtims spręsti. Svarbiausia buvo išspręsti lygtį radikalais, t. y. rasti lygties šaknis atlikus baigtinį skaičių sudėties, atimties, daugybos ir šaknies traukimo veiksmų su lygties koeficientais. Reikėjo tobulinti algebrinius metodus. 16 a. pabaigoje F. Viète’as sutvarkė algebros simboliką. Kūrėsi determinantų teorija. 1799 C. F. Gaussas įrodė algebros pagrindinę teoremą. 1824 N. H. Abelis įrodė, kad negalima rasti šaknų formulių bendrojo pavidalo lygčiai, kurios laipsnis didesnis už 4. 1832 É. Galois rado būtinąsias ir pakankamąsias sąlygas lygčiai išspręsti radikalais. Jis sukūrė naują algebros šaką – Galois teoriją. N. H. Abelis ir É. Galois ėmė vartoti visai naujas algebros sąvokas, iš kurių 20 a. formavosi grupių, kūnų, žiedų teorijos, algebrinė topologija, struktūrų teorija, homologijų algebra. Pradėtos vartoti matricos, kvaternionai, tenzoriai. Raidėmis pradėta žymėti bet kokių sistemų elementus su tose sistemose apibrėžtomis operacijomis. Taip susikūrė abstrakčioji aksiominė algebra.
Algebra Lietuvoje
Lietuvoje pirmą kartą algebros pradmenys pateikti vadovėlyje Vilniaus universiteto studentams Alpha matheseos (1733). Vilniaus universitete algebra dėstoma nuo 18 a. antros pusės. Lietuvių kalba pirmuosius elementariosios algebros vadovėlius parašė M. Šikšnys (Elementarinė algebra 4 dalys 1921–26, Aritmetika ir algebra 3 dalys 1939–40), Zigmas Balevičius-Balutis (Algebra 5 dalys 1934–35, dalis 1–2 su A. Busilu), J. I. Dailidė (Algebra 4 dalys 1938–40), G. Žilinskas (Aukštoji algebra 1960), P. A. Matuliauskas (Algebra 1985). Algebros problemas tyrė G. Žilinskas, P. A. Matuliauskas, H. V. Markšaitis, Rimantas Grigutis, Edmundas Gaigalas.
1522