algebra

álgebra, hiperkomplèksinė sistemà, tiesinė erdvė A virš kūno F su papildomai apibrėžta sandauga: kiekvieniems dviem A elementams a, b priskiriamas erdvės A elementas, žymimas ab ir vadinamas tų elementų sandauga; be to, reikalaujama, kad bet kuriems kūno F elementams α ir bet kokiems erdvės A elementams a, b, c būtų teisinga: α (ab) = (α a)b = a(α b), (a + b)c = ac + bc, c(a + b) = ca + cb. Jei asociatyvumo sąlygą (ab)c = a(bc) tenkina visi A elementai a, b, c, tai A yra asociatyvioji algebra. Asociatyviosios algebros yra: kompleksiniai skaičiai įprastų sudėties ir daugybos veiksmų atžvilgiu (kūnas F – visų realiųjų skaičių kūnas); kvaternionai virš realiųjų skaičių kūno; n kintamųjų daugianariai virš kurio nors kūno įprastų veiksmų atžvilgiu; n eilės matricos, kurių elementai yra iš kurio nors kūno F, matricų sudėties, daugybos ir matricų daugybos iš kūno F elementų atžvilgiu. Jei visiems a, b, c iš A teisingos lygybės a² = 0 ir (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0 (Jacobi tapatybė), tai A yra Lie algebra; ji bendruoju atveju nėra asociatyvi. Tiriamos t. p. algebros, kurių elementai a, b tenkina lygybę a²b = a(ab), ba² = (ba)a (asociatyvumo sąlyga silpnesnė). Tokia yra Cayley algebra. Ją sudaro q + Qe pavidalo elementai; čia q ir Q yra kvaternionai virš realiųjų skaičių kūno, e – naujas vienetas, skirtingas nuo kvaternionų vienetų. Tų elementų sudėtis ir daugyba iš realiojo skaičiaus nusakoma įprastu būdu, o dviejų elementų q + Qe ir r + Re daugyba – lygybe (q + Qe)(r + Re) = qr – Q + (q + Q)e; brūkšnys virš raidės reiškia jungtinį kvaternioną.