analizinė geometrija

analzinė geomètrija, matematikos šaka, kuri naudodamasi matematine analize bei algebra koordinačių metodu tiria geometrinių objektų savybes. Analizinė geometrija apima dvi geometrijos šakas: diferencialinę geometriją ir algebrinę geometriją. Siauresne prasme analizinė geometrija laikoma tik algebrinės geometrijos dalimi. Naudojantis koordinačių metodu skaičiais (koordinatėmis) nusakoma paprasčiausių geometrinių objektų (taško, tiesės, plokštumos) padėtis koordinačių sistemos atžvilgiu. Analizinėje geometrijoje dažniausiai vartojama Descartes’o koordinačių sistema. Koordinačių metodas analizinėje geometrijoje tašką ir skaičius susieja abipus vienareikšme atitiktimi: plokštumoje tašką atitinka skaičių dvejetas, o erdvėje – skaičių trejetas, ir atvirkščiai, kiekvieną skaičių dvejetą atitinka plokštumos taškas, o trejetą – erdvės taškas. Analizinėje geometrijoje plokštumos kreivė išreiškiama lygtimi F(x, y) = 0, o kiekviena tokia lygtis reiškia plokščiąją kreivę. Paviršius išreiškiamas lygtimi F(x, y, z) = 0, o kiekviena tokia lygtis analizinėje geometrijoje reiškia paviršių. Dviejų pirmųjų lygčių sistema reiškia dviejų kreivių susikirtimo taškus, o antrųjų – dviejų paviršių bendruosius taškus, t. y. jų susikirtimo kreivę. Kreivių ir paviršių savybių tyrimas koordinačių metodu taikant matematinę analizę paverčiamas lygčių tyrimu. Tai ir yra analizinės geometrijos esmė. Jei turimose Descartes’o koordinatėse F(x, y) yra daugianaris, tai kreivė vadinama algebrine (priešingu atveju ji vadinama transcendenčiąja). Algebrinės kreivės eile vadinamas kreivės lygties laipsnis. I eilės algebrinė kreivė, išreiškiama lygtimi ax + by + c = 0, yra tiesė ir, atvirkščiai, kiekviena tiesė analizinėje geometrijoje nusakoma I laipsnio lygtimi. II eilės algebrinė kreivė išreiškiama lygtimi Ax² + Bxy + Cy²+ Dx + Ey + F = 0. Pvz., II eilės kreivės yra apskritimas, elipsė, hiperbolė, parabolė. Sprendžiant n‑ojo ir I laipsnio lygčių sistemą gaunama n sprendinių (x, y dvejetų), kurie gali būti realieji arba menamieji skirtingi, arba kartotiniai, todėl kreivės eilė parodo, kiek kreivė turi susikirtimo taškų (realiųjų arba menamųjų, kartais ir sutampančių) su tiese. Analogiškai, jei F(x, y, z) yra algebrinis daugianaris, tai paviršius, išreikštas lygtimi F(x, y, z) = 0, vadinamas algebriniu. Algebrinio paviršiaus eile vadinamas jo lygties laipsnis. I laipsnio lygtis ax + by + cz + d = 0 analzinėje geomètrijoje reiškia plokštumą ir, atvirkščiai, kiekviena plokštuma išreiškiama I laipsnio lygtimi ir laikoma I eilės paviršiumi. II eilės algebrinis paviršius išreiškiamas lygtimi Ax²+ By²+ Cz²+ Dxy + Eyz + Fzx + Gx + Hy + Mz + N = 0. Dviejų pirmojo laipsnio lygčių sistema a₁ x + b₁ y + c₁ z + d₁ = 0, a₂ x + b₂ y + c₂ z + d₂ = 0 reiškia tiesę erdvėje. Pvz., II eilės paviršiai yra sfera, elipsoidas, paraboloidas, hiperboloidas. Sprendžiant tokių dviejų lygčių ir n‑ojo laipsnio lygties sistemą gaunama n sprendinių (x, y, z trejetų), todėl paviršiaus eilė rodo, kiek paviršius turi susikirtimo taškų su tiese. Kreivės arba paviršiaus lygtis priklauso nuo jų padėties koordinačių sistemos atžvilgiu. Atitinkamai parinkus koordinačių sistemą lygtis supaprastėja, todėl ir nagrinėjamo objekto tyrimas palengvėja. Pereinant iš vienos koordinačių sistemos į kitą vartojamos koordinačių transformacijos formulės – tiesinės lygtys, kurios taško koordinates vienoje koordinačių sistemoje išreiškia koordinatėmis kitoje koordinačių sistemoje: kreivės ir paviršiaus eilė nuo to nesikeičia. Analizinėje geometrijoje dažnai vartojami vektoriai, kurie labai supaprastina analizės operacijas ir padeda lengviau sudaryti jų geometrinį vaizdą. Visų algebrinių kreivių ir paviršių savybes nagrinėja algebrinė geometrija; analizinė geometrija siaurąja prasme nagrinėja tik tieses, plokštumas ir antrosios eilės kreives bei antrosios eilės paviršius.

Istorija

Analizinės geometrijos metodai taikomi įvairiose matematikos šakose, mechanikoje, fizikoje, astronomijoje. Matematikoje koordinačių sąvokos užuomazgą galima rasti jau antikos matematikų veikaluose. Tačiau tik 17 a., kai algebra jau buvo susiformavusi į atskirą matematikos discipliną, R. Descartes’as veikale La Géométrie (1637) vartodamas koordinačių sąvoką algebros metodais sprendė kai kuriuos geometrinius klausimus. Jis laikomas analizinės geometrijos kūrėju. Vėliau P. de Fermat, I. Newtonas, L. Euleris, J. L. de Lagrange’as R. Descartes’o mintį išplėtojo iki dabartinės analizinės geometrijos sąvokos. Lietuvoje P. Katilius paskelbė darbų apie kreivių tinklus paviršiuose, parašė vadovėlį Analizinė geometrija (1940 ³1973). Analizinės geometrijos problemas tyrė K. Grincevičius, V. Bliznikas, Algirdas Matuzevičius.