analizinė skaičių teorija

analzinė skačių teòrija, skaičių teorijos šaka, kurios uždaviniai sprendžiami matematinės analizės metodais. Viena svarbiausių analizinės skaičių teorijos problemų – pirminių skaičių pasiskirstymo dėsningumų tyrinėjimas. Euklidas (3 a. pr. Kr.) įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Pirminių skaičių (ne didesnių už x) kiekio funkcija π(x) pradėta sistemingai tirti, kai B. Riemannas 1859 susiejo ją su dzeta funkcija $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$, nagrinėjama su kompleksiniais skaičiais s. 1899 Jacquesas Salomonas Hadamard’as (Prancūzija) ir Charlesas-Jeanas Étienneʼas de la Vallée-Poussinas (Belgija), naudodamiesi šios funkcijos savybėmis, įrodė, kad $\mathrm{\pi }(x)=\frac{x}{\ln x}(1+e(x))$, e(x) → 0, x → ∞. Galimybė parašyti tikslesnes funkcijos π(x) išraiškas priklauso nuo žinių apie funkcijos ζ(s) nulių padėtį. B. Riemannas suformulavo hipotezę, kad visi netrivialieji šios funkcijos nuliai yra tiesėje $s=\frac{1}{2}+\mathit{it}$. Ši viena svarbiausių analizinės skaičių teorijos hipotezių neįrodyta iki šiol. Analizinės skaičių teorijos metodais sprendžiama daugelis adicinės skaičių teorijos problemų, tiriamos aritmetinių funkcijų savybės. Vieni svarbiausių teiginių apie aritmetines funkcijas – teoremos apie vidutines aritmetinių funkcijų reikšmes. Klasikinis tokios teoremos pavyzdys – natūraliojo skaičiaus skirtingų daliklių kiekio funkcijos d(n) sumos asimptotika: d(1) + d(2) + … + d(n) = n ln n + (2γ – 1)n + r(n); čia γ – Eulerio konstanta, r(n) – liekamasis narys. 1849 P. G. L. Dirichlet įrodė, kad r(n) ≤ $c\sqrt{n}$, vėliau šis įvertis buvo tikslinamas. Analizinės skaičių teorijos teiginiai apie multiplikatyviųjų funkcijų vidurines reikšmes ypač svarbūs tikimybinėje skaičių teorijoje. Analizinės skaičių teorijos priemonėmis tiriami diofantinių artinių, transcendentinių skaičių teorijos uždaviniai.

Lietuvoje

Analizinės skaičių teorijos tyrimus 1946 pradėjo J. Kubilius. Jis nagrinėjo metrinės skaičių teorijos Mahlerio hipotezę, analizines algebrinių skaičių teorijos problemas. Vėliau Lietuvos matematikai plėtojo įvairių skaičių teorijų analizinius metodus: algebrinių skaičių teorijos (Antanas Kęstutis Bulota, A. Dubickas, Edmundas Gaigalas, J. Kubilius, Mindaugas Maknys, P. A. Matuliauskas, Jonušas Urbelis), metrinės skaičių teorijos (J. Kubilius, R. Sliesoraitienė, V. Sprindžiukas), adicinės skaičių teorijos (Antanas Kęstutis Bulota, J. Kubilius, Mindaugas Maknys), aritmetinių funkcijų asimptotinių savybių tyrimų (Zigmas Juškys, Zigmantas Kryžius, J. Kubilius, A. Laurinčikas, Algirdas Mačiulis, E. Manstavičius, R. Skrabutėnas, V. Stakėnas, G. Stepanauskas), generuojančiųjų Dirichlet eilučių teorijos (A. Laurinčikas, E. Stankus).

1067