antagonistinis lošimas

antagonstinis lošmas, matricnis lošmas, dviejų asmenų, kurių interesai visiškai priešingi, lošimas. Tokiame lošime svarbu apskaičiuoti, kiek lošėjas gali išlošti ir kaip jis tai gali padaryti. X – pirmojo lošėjo, o Y – antrojo lošėjo strategijų aibė. Visų situacijų (lošimų teorija) (x, y), x ∈ X, y ∈ Y aibėje apibrėžtos lošėjų išlošio funkcijos f₁(x, y) ir f₂(x, y). Antagonistiniame lošime f₁(x, y) = –f₂(x, y), todėl pakanka apibrėžti tik pirmojo lošėjo išlošį f(x, y) = f₁(x, y). Kai kiekvieno lošėjo strategijų aibė yra baigtinė (X = {1, 2, …, m}, Y = {1, 2, …, n}), lošimas vadinamas baigtiniu. Šiuo atveju lošiama taip: pirmasis lošėjas renkasi strategiją i ∈ {1, 2, …, m}, antrasis j ∈ {1, 2, …, n}. Lošimo baigmė yra situacija (i, j), o apibrėžtas skaičius a_ij vadinamas pirmojo lošėjo išlošiu. Visi galimi pirmojo lošėjo išlošiai sudaro jo išlošio matricą $A=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\\ \mathrm{.}\\ a_{m1}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\\ \mathrm{.}\\ a_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\end{array}\\ \mathrm{.}\\ a_{\mathit{mn}}\end{array}\right)$. Toks antagonistinis lošimas vadinamas matriciniu lošimu. Pirmojo lošėjo tikslas – parinkti tokią matricos A eilutę (strategiją) i, kad išlošis a_ij būtų didžiausias. Antrojo lošėjo tikslas priešingas – parinkti tokį stulpelį j, kad jo pralošis a_ij būtų mažiausias. Pirmasis lošėjas gali pasiekti išlošį v₁ = $\underset{\mathrm{j}}{\max }\underset{\mathrm{i}}{\min }$ a_ij, antrasis lošėjas gali išvengti pralošio, didesnio negu v₂ = $\underset{\mathrm{j}}{\min }\underset{\mathrm{i}}{\max }$ a_ij. Skaičius v₁ vadinamas apatine antagonistinio lošimo verte, o v₂ – viršutine antagonistinio lošimo verte. Visiems matriciniams lošimams teisinga nelygybė v₁ ≤ v₂. Matricinio lošimo strategijos i₀, j₀ vadinamos optimaliosiomis, jeigu su visais i = 1, …, m ir j = 1, …, m teisingos nelygybės $a_{{\mathit{ij}}_0}⩽a_{i_0{j}_0}⩽a_{i_{0}j}$; čia (i₀, j₀) – optimali situacija, o $a_{i_0{j}_0}$ – matricos balno taškas. Baigtinis antagonistinis lošimas turi optimaliąsias strategijas tada ir tik tada, kai v₁ = v₂ = v. Reikšmė v vadinama lošimo verte – pirmojo lošėjo išlošiu optimalioje situacijoje (i₀, j₀). Nagrinėjant daug kartų kartojamą lošimą strategija įgauna kitokią prasmę. Vietoj matricos eilutės ar stulpelio pasirinkimo strategija yra taisyklė, kaip kaitalioti tą pasirinkimą. Taisyklę nusako vektoriai x = (x₁, …, x_m) ir y = (y₁, …, y_n), kai \(\sum\limits_{i=1}^{m}\) x_i = 1, x_i ≥ 0, i = 1, …, m; $\sum _{j=1}^n$y_j = 1, y_j ≥ 0 j = 1, …, n; čia x_i – tikimybė, su kuria pirmasis lošėjas renkasi i‑ąją strategiją, o y_j – tikimybė, su kuria antrasis lošėjas renkasi j‑ąją strategiją. Vektoriai x ir y vadinami lošėjų mišriosiomis strategijomis. Strategija, kurios tik viena koordinatė nelygi nuliui, vadinama grynąja strategija. Kai lošėjai renkasi mišriąsias strategijas, jų išlošiai yra atsitiktiniai dydžiai. Vidurkis f(x, y) = $\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n$ a_ij, x_i y_j vadinamas pirmojo lošėjo išlošiu mišriųjų strategijų situacijoje (x, y). Mišriosios strategijos x₀, y₀ vadinamos optimaliosiomis, jeigu su visomis mišriosiomis strategijomis x, y teisingos nelygybės f(x, y₀) ≤ f(x₀, y₀) ≤ f(x₀, y). Skaičius v = f(x₀, y₀) vadinamas lošimo verte arba pirmojo lošėjo išlošiu optimalioje situacijoje (x₀, y₀). Bet kokiam matriciniam lošimui yra teisinga lygybė $\underset{\mathrm{y}}{\min }\underset{\mathrm{x}}{\max }$ f(x, y) = $\underset{\mathrm{x}}{\max }\underset{\mathrm{y}}{\min }$ f(x, y) (minimakso teorema). Iš šios teoremos išplaukia, kad matricinis antagonistinis lošimas mišriųjų strategijų aibėje visada turi optimalųjį sprendinį. Jį galima rasti taikant simpleksų metodą (tiesinis programavimas).

62