antrosios eilės paviršius

antrõsios eils pavišius, paviršius, kuris Descartes’o koordinatėse išreiškiamas II laipsnio lygtimi a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0. Antrosios eilės paviršius su tiese turi 2 susikirtimo taškus, kurie gali būti realūs (skirtingi ar sutampantys) arba menami. Jei $D=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\\ a_{31}\\ a_{41}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\\ a_{32}\\ a_{42}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{13}\\ a_{23}\end{array}\\ a_{33}\\ a_{43}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{14}\\ a_{24}\end{array}\\ a_{34}\\ a_{44}\end{array}\right|=0$, tai antrosios eilės paviršius yra išsigimęs. Realūs išsigimę antrosios eilės paviršiai yra plokštumų dvejetas, kūgis ir elipsinis, hiperbolinis bei parabolinis cilindrai. II eilės cilindrus galima gauti išvedus atitinkamai per elipsės, hiperbolės ar parabolės taškus tieses, statmenas kreivės plokštumai. Jei D ≠ 0, tai antrosios eilės paviršius yra neišsigimęs. Atitinkamai parinkus koordinačių sistemą jo lygčiai galima suteikti vieną iš šių 6 pavidalų: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$ , $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=z$ , $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1$. 1 lygtimi išreikštas paviršius yra triašis elipsoidas (kai a = b arba b = c – sukimosi elipsoidas; kai a = b = c – sfera), 2 – vienašakis hiperboloidas (kai a = b – sukimosi vienašakis hiperboloidas), 3 – dvišakis hiperboloidas (kai b = c – sukimosi dvišakis hiperboloidas), 4 – elipsinis paraboloidas (kai a = b – sukimosi paraboloidas), 5 – hiperbolinis paraboloidas, 6 – menamasis elipsoidas. Pirmieji trys paviršiai turi simetrijos centrą (koordinačių pradžios tašką); jie yra centriniai antrosios eilės paviršiai. Bendruoju atveju centriniai antrosios eilės paviršiai turi po 3 simetrijos plokštumas (koordinačių plokštumos) ir po 3 simetrijos ašis (koordinačių ašys); kartais gali turėti ir daugiau kaip 3 (pvz., sfera turi simetrijos plokštumų grįžtę, sukimosi elipsoidas – simetrijos plokštumų pluoštą). Paraboloidai centro neturi; jie yra necentriniai, turi po 2 simetrijos plokštumas (xz ir yz plokštumos) ir po 1 simetrijos ašį (z ašis). Kertant antrosios eilės paviršių bet kokia plokštuma gaunama antrosios eilės kreivė.