aritmètika (gr. arithmētikē < arithmos – skaičius), matematikos šaka, tirianti skaičius ir veiksmus su jais.
Tipai
Skiriama elementarioji aritmetika ir teorinė aritmetika. Elementarioji aritmetika tiria natūraliuosius (sveikuosius teigiamus) ir teigiamus racionaliuosius (trupmeninius) skaičius. Ji formuoja natūraliojo skaičiaus sąvoką (1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 ir t. t.) be formalaus, griežto matematinio apibrėžimo. Nagrinėja natūraliųjų skaičių užrašymo būdus (skaičiavimo sistemos), jų veiksmus (sudėtį, atimtį, dalybą, daugybą), šių veiksmų atlikimo eilę ir būdus, pagrįstus kai kuriomis individualiomis skaičių savybėmis. Toliau skaičiaus sąvoka išplečiama – skaičiais laikomi ir natūraliųjų skaičių santykiai (trupmenos). Naujoje skaičių aibėje apibrėžiami sudėties, daugybos, atimties, dalybos veiksmai, tiriami jų atlikimo būdai, savybės. Atskirai nagrinėjamos dešimtainės trupmenos, veiksmai su jomis, paprastųjų trupmenų vertimas dešimtainėmis ir atvirkščiai. Nustatoma, kokios paprastosios trupmenos paverčiamos baigtinėmis dešimtainėmis ir kokios – begalinėmis periodinėmis dešimtainėmis. Elementarioji aritmetika nagrinėja: skaičių apvalinimą, veiksmus su suapvalintais skaičiais; vardinius skaičius; procentus, jų uždavinius; paprasčiausias skaičių priklausomybes – tiesioginį ir atvirkštinį proporcingumą, proporcijas ir jų savybes. Skaičių dalumo požymiai, dalumo savybės, skaičių skaidymas pirminiais daugikliais, bendrojo didžiausiojo daliklio ir bendrojo mažiausiojo kartotinio radimas nagrinėjami t. p. aritmetikoje, nors tai jau elementariosios skaičių teorijos dalykai. Elementarioji aritmetika glaudžiai siejasi su skaičių teorija ir algebra. Teorinė aritmetika tiria natūraliuosius, sveikuosius, racionaliuosius, realiuosius, kompleksinius skaičius, kvaternionus ir šių skaičių aibių savybes. Naudodamasi matematikos (aibių teorijos) sąvokomis ji aksiomomis griežtai matematiškai apibrėžia atitinkamas skaičių aibes, jų elementų pagrindinius sąryšius (lygybės, tvarkos, tolydumo), pagrindinius veiksmus (sudėtį ir daugybą) ir toliau griežtai logiškai įrodo visas šių veiksmų savybes, kurios elementariojoje aritmetikoje laikomos akivaizdžiomis. Be to, įrodo atimties (išskyrus natūraliųjų skaičių aibę) ir dalybos iš nelygaus nuliui skaičiaus (išskyrus sveikųjų skaičių aibę) galimumą. Teorinė aritmetika yra aksiominė matematinė teorija. Naudojant pilnąją matematinę indukciją įrodoma, kad sudėti ir dauginti galima bet kokius natūraliuosius skaičius. Aksiomiškai apibrėžtomis ir sukonstruotomis skaičių aibėmis ir jų savybėmis naudojamasi matematinėje analizėje, analizinėje geometrijoje, kompleksinio kintamojo funkcijų teorijoje ir kitose matematikos šakose.
Istorija
Pirmosios aritmetikos sąvokos atsirado dar priešistoriniais laikais iš praktinės žmogaus veiklos poreikių. Formavosi sveikųjų teigiamųjų skaičių sąvokos: vieneto, dvejeto. 3 kurį laiką buvo didžiausias skaičius. Vėliau buvo skaičiuojama penketais, dešimtimis, dvidešimtimis, tuzinais ir kitaip. Taip kūrėsi skaičiavimo sistemos, skaičių pavadinimai, ženklai (skaitmenys). Senovės Egipte, Kinijoje, Indijoje, Mesopotamijoje, inkų ir actekų žymėti ir žinomi pagrindiniai aritmetikos veiksmai. Egipte buvo vartojama dešimtainė skaičiavimo sistema (apie 3600 pr. Kr.), žinomi visi veiksmai su skaičiais, kai kurios trupmenos ir veiksmai su jomis (apie 2000 pr. Kr.). Aritmetika tobulėjo senovės Graikijoje (nuo 8 a. pr. Kr.). Skaičiavimo mokslas čia vadintas logistika. Graikų matematikai Euklidas, Archimedas, Pitagoras ir kiti (4–3 a. pr. Kr.) susistemino ir papildė padrikas aritmetikos žinias, pavertė ją mokslu. Skaičių dalumo savybės, iracionalieji skaičiai, natūraliųjų ir pirminių skaičių aibių nepabaigiamumas ir kita išdėstyta Euklido Pradmenyse. 7–11 a. aritmetikos mokslą plėtojo arabai. 10–13 a. europiečiai iš arabų veikalų sužinojo apie perimtus iš indų skaitmenis (iš jų atsirado dabartiniai vadinami arabiškieji skaitmenys) ir pozicinę dešimtainę skaičiavimo sistemą. 13 a. pradžioje L. Pisano parašė išsamų aritmetikos traktatą. Dabar vartojami aritmetikos veiksmų ženklai atsirado 15–17 amžiuje. Skaičių sistemų griežta loginė analizė buvo baigta 19 amžiuje. Teorinės aritmetikos pradininkai – Hermannas Güntheris Grassmannas (Vokietija) ir G. Peano. R. J. W. Dedekindas, G. F. L. Ph. Cantoras, K. Weierstrassas sukūrė pirmąsias griežtas realiųjų skaičių teorijas, 1891 G. Peano – natūraliųjų skaičių aksiominę teoriją.
Lietuvoje
Lietuvoje aritmetika, kaip elementariosios matematikos dalis, pradėta dėstyti Vilniaus universitete nuo pat jo įkūrimo. Trumpus aritmetikos vadovėlius lotynų kalba parašė universiteto profesoriai T. Žebrauskas, M. Počobutas. Vadovėlių lietuvių kalba išleido P. Matulionis ir J. Spudulis (1885 Tilžė), P. Vileišis (1886 Tilžė), S. Gimžauskas (1888 Tilžė), S. Skačkauskas (1897 Čikaga). Po 1904 išleista lietuviškų aritmetikos vadovėlių ir uždavinynų (B. Balčytis, P. Bendorius, A. Busilas, J. Damijonaitis, Petras Daugirdas, Jonas Gvildys, K. Klimavičius, Kazys Kupčiūnas, P. Mašiotas, P. Naujokaitis, A. Smetona, Jonas Trinkūnas).
1436