atvaizdis

ãtvaizdis, aibės X atvaizdis aibėje Y yra bet kuri taisyklė f, priskirianti kiekvienam aibės X elementui x vieną aibės Y elementą y = f(x). Elementas y vadinamas x vaizdu, o x – elemento y pirmavaizdžiu. Pvz., gaublį galima laikyti Žemės paviršiaus taškų atvaizdžio gaublio paviršiuje rezultatu. Ekvivalenčią atvaizdžio prasmę turi terminai: transformacija, operatorius, funkcija. Kai X ir Y – skaičių aibės, paprastai vartojamas terminas funkcija, kai X – bet kuri funkcijų aibė, o Y – skaičių aibė, – terminas funkcionalas. Jei kiekvienas Y elementas turi bent 1 pirmavaizdį, gaunamas aibės X atvaizdis į aibę Y. Jei kiekvienas Y elementas turi tik 1 pirmavaizdį, atvaizdis vadinamas abipusiškai vienareikšmiu atvaizdžiu. Minėtame pavyzdyje kiekvieną gaublio paviršiaus tašką atitinka tik vienas Žemės paviršiaus taškas, ir atvirkščiai; taigi čia yra abipusiškai vienareikšmis atvaizdis. Jei bet kokiai aibės X elementų sekai x₁, x₂, … konverguojant į X elementą x ir Y elementai f(x₁), f(x₂), … konverguoja į f(x), tai atvaizdis yra tolydusis. Abipusiškai vienareikšmis atvaizdis turi atvirkštinį atvaizdį, priskiriantį kiekvienam Y elementui jo pirmavaizdį x. Atvaizdis vadinamas homeomorfiniu, arba topologiniu, jei atvaizdis ir atvirkštinis atvaizdis yra tolydieji (homeomorfizmas). Atitiktis tarp aibės X elementų atvaizdį pakeičia atitiktimis tarp aibės Y elementų. Pastarųjų nagrinėjimas kartais būna paprastesnis. Kai kurios aibės X savybės gali nepasikeisti atvaizduojant ją aibėje Y; tuomet atvaizdis vadinamas izomorfiniu tų savybių atžvilgiu (izomorfizmas). Vieno paviršiaus atvaizdis kitame vadinamas izometriniu, jei lanko pirmajame ir jo vaizdo antrajame paviršiuje ilgiai yra vienodi. Šis atvaizdis nepakeičia figūros ploto ir kampo tarp 2 krypčių, išvestų iš 1 taško. Atvaizdis vadinamas konforminiu, jei jis nepakeičia kampo tarp 2 krypčių, išvestų iš 1 taško (konforminis atvaizdis). Geodezinis atvaizdis geodezinę liniją paviršiuje atvaizduoja geodezine linija kitame paviršiuje. Paviršiaus ekvivalentusis atvaizdis paviršiuje nepakeičia atitinkamų figūrų plotų santykio.