briaunainis

briaunainis

briaunanis, daugiãsienis, polièdras (poli… + gr. hedra – pagrindas, paviršius, šonas), paviršius, sudarytas iš baigtinio skaičiaus plokščiųjų daugiakampių, išdėstytų taip, kad kiekviena kraštinė priklauso ne daugiau kaip 2 daugiakampiams ir nuo vieno daugiakampio galima patekti ant kito, pereinant bendras kraštines. Kartais briaunainiu vadinamas kūnas, apribotas baigtiniu skaičiumi plokščiųjų daugiakampių. Daugiakampiai, sudarantys briaunainį, vadinami jo sienomis, daugiakampių kraštinės – briaunainio briaunomis, daugiakampių viršūnės – briaunainio viršūnėmis. Jei kiekviena briauna priklauso 2 sienoms, tai briaunainis vadinamas uždaruoju, priešingu atveju – atviruoju. Atvirajame briaunainyje briaunos, nepriklausančios 2 sienoms, sudaro briaunainio kontūrą.

Briaunainis vadinamas iškiluoju, jei jis visas yra vienoje bet kurios jo sienos plokštumos pusėje. Iškilojo briaunainio e – k + f = 2 (Eulerio teorema); čia e – viršūnių, k – briaunų, f – sienų skaičius. Svarbiausi briaunainiai: taisyklingieji, taisyklingieji neiškilieji, pusiau taisyklingi, lygiagretasieniai. Taisyklingieji briaunainiai (Platono kūnai) – iškilieji briaunainiai, kurių visos sienos yra lygūs taisyklingieji daugiakampiai, o daugiasieniai kampai lygūs ir taisyklingi. Tokių briaunainių yra 5: tetraedras, kubas, oktaedras, dodekaedras, ikosaedras. Į kiekvieną jų galima įbrėžti ir aplink kiekvieną apibrėžti rutulį. Taisyklingieji neiškilieji briaunainiai (žvaigždiniai briaunainiai, arba Poinsot kūnai) – tokie briaunainiai, kurių sienos arba kerta vienos kitas, arba yra save kertantys daugiakampiai. Jų yra 4. Juos 1809 atrado L. Poinsot. 1811 A.‑L. Cauchy įrodė, kad daugiau šio tipo briaunainių neegzistuoja. Pusiau taisyklingi briaunainiai (Archimedo kūnai) – iškilieji briaunainiai, kurių sienos yra skirtingi taisyklingieji daugiakampiai, o daugiasieniai kampai lygūs. Jų yra 15. Lygiagretasieniai (Fiodorovo kūnai) – iškilieji briaunainiai, kurių kiekvienu, lygiagrečiai jį perstumiant neribotą skaičių kartų, galima užpildyti visą erdvę taip, kad gautieji briaunainiai neįeitų vienas į kitą ir tarp jų neliktų tuštumų. Lygiagretasienių yra 5; juos 1891 atrado J. Fiodorovas.

taisyklingieji iškilieji briaunainiai (Platono kūnai): a – tetraedras, b – kubas, c – oktaedras, d – dodekaedras, e – ikosaedras

taisyklingieji neiškilieji briaunainiai (Poinsot kūnai)