Cauchy uždavinys

Cauchy uždavinys (Koš uždavinỹs), pradnis uždavinỹs, matematikos uždavinys, kuriame ieškoma diferencialinių lygčių (paprastųjų ar dalinių išvestinių) arba jų sistemų sprendinio, tenkinančio pradines sąlygas. Paprastosios diferencialinės lygties y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y′, …, y^(n–1)) Cauchy uždavinys rasti sprendinį y(x), tenkinantį taške x = x₀ pradines sąlygas y(x₀) = y₀, y′(x₀) = y₀, …, y^(n–1)(x₀) = y₀^(n–1). Jei funkcija f ir jos išvestinės tolydžios, Cauchy uždavinys turi vienintelį sprendinį. Diferencialinių lygčių sistemos y_k = f_k(x, y₁, …, y_n)(k = 1, …, n) Cauchy uždavinys: rasti sprendinį y₁(x), …, y_n(x), tenkinantį pradines sąlygas y_k(x₀) = $y_k^0$(k = 1, …, n). Jei funkcijos f_k ir jų dalinės išvestinės pagal y_k yra tolydžios taško (x₀, $y_1^0$, …, $y_n^0$) aplinkoje, tai Cauchy uždavinys turi vienintelį sprendinį. Dalinių išvestinių lygties $\frac{{\partial }^{h}u}{\partial t^h}$ = F(t, x₁, …, x_n, u$\frac{\partial u}{\partial x_1}$, …, $\frac{{\partial }^{i_0+i_1+\mathrm{...}+i_n}u}{\partial t^{i_0}\partial x_1^{i_1}\mathrm{...}\partial x_n^{i_n}}$), i₀ + i₁ + … + i_n ≤ N, i₀ < h Cauchy uždavinys: rasti sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas \(\left.\frac{\partial^i u}{\partial t^i}\right|_{t=t_0}\) = φ_i(x₁, …, x_n), i = 0, 1, …, h – 1. Cauchy uždavinys analogiškai formuluojamas dalinių išvestinių lygčių sistemoms. Cauchy uždavinio pradinės sąlygos mechanikos, virpesių, bangų uždaviniuose reiškia pradinę būseną, pradinį greitį, šilumos laidumo uždaviniuose – pradinę temperatūrą.

1820–30 A.‑L. Cauchy suformulavo paprastosios diferencialinės lygties Cauchy uždavinį ir įrodė sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremą; 1842 įrodė tiesinės, o 1874 S. Kovalevskaja – netiesinės dalinių išvestinių lygties Cauchy uždavinio sprendinio vienaties teoremą. Kai kuriuos Cauchy uždavinius išsprendė J. Le R. d’Alembert’as, P. S. de Laplace’as, J. Fourier, S. D. Poissonas, B. Riemannas, L. Euleris. 1923 Jacquesʼas Salomonas Hadamard’as (Prancūzija) įrodė, kad Laplace’o lygties Cauchy uždavinys yra nekorektiškas. 1938 I. Petrovskis apibrėžė korektiškąjį parabolinio tipo lygties Cauchy uždavinį.