Cayley algebra

Cayley algebra (Kelio álgebra), realioji 8 rango algebra su vienetu. Jos bazę sudaro elementai 1, i, j, k, e, ie, je, ke, susieti lygybėmis i² = j² = k² = e² = –1, ij = –ji = k, jk = –kj = i, ki = –ik = j, ei = –ie, ej = –je, ek = –ke. Cayley algebros elementai vadinami Cayley skaičiais. Cayley skaičiai reiškiami kvaterniono ir kvaterniono, padauginto iš e, suma. Dviejų Cayley skaičių ξ = α + βe ir η = γ + δe (α, β, γ, δ – kvaternionai) suma ir sandauga skaičiuojama pagal formules ξ + η = (α + γ) + (β + δ)e, $\xi \eta =\alpha \gamma -\overline{\delta }\beta +(\delta \alpha +\beta \overline{\gamma })e$; čia $\overline{\delta }$, $\overline{\gamma }$ – jungtiniai kvaternionai. Realiojo skaičiaus c ir Cayley skaičiaus ξ = α + βe sandauga cξ = cα + (cβ)e. Cayley algebra yra nekomutatyvi ir neasociatyvi, bet turi alternatyvumo savybę (ξξ)η = ξ(ξη), (ηξ)ξ = η(ξξ), kai ξ ir η – bet kokie Cayley skaičiai. Cayley skaičiaus ξ = α + βe jungtiniu skaičiumi vadinamas skaičius $\overline{\xi }=\overline{\alpha }-\beta e$. Sandauga $\xi \overline{\xi }=\overline{\xi }\xi =N\xi$ vadinama Cayley skaičiaus ξ norma. Cayley algebra neturi nulio daliklių. Cayley skaičiaus ξ ≠ 0 atvirkštinis skaičius ${\xi }^{-1}=(\frac{1}{N\xi })\overline{\xi }$. Cayley algebrą ištyrė A. Cayley.