cilindrinės funkcijos

cilndrinės fùnkcijos, specialiosios funkcijos, tenkinančios Besselio diferencialinę lygtį x²y′′ + xy′ + (x² – v²)y = 0. Šios lygties sprendinys $I_v(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^m\frac{1}{m!\mathrm{\Gamma }(v+m+1)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{v+2m}$; čia Γ(z) – gama funkcija, vadinama pirmosios rūšies cilindrine funkcija (Besselio funkcija). Jei ν nėra sveikasis skaičius, tai I_–ν(x) yra lygties sprendinys, tiesiškai nepriklausomas nuo I_ν(x). Jei ν = n – sveikasis neneigiamas skaičius, tai Besselio funkcija I_n(x) yra sveikoji funkcija, o kitas lygties sprendinys Y_n(x) = $\underset{v\to n}{\lim }\frac{I_v(x)\cos v\mathrm{\pi }-I_{-v}(x)}{\sin v\mathrm{\pi }}$ nėra sveikasis. Jis vadinamas antrosios rūšies cilindrine funkcija. Kiekvienu atveju C₁I_ν(x) + C₂I_−ν(x) (sveikajam ir trupmeniniam ν) yra Besselio lygties bendrasis sprendinys (C₁, C₂ – konstantos).Vartojamos ir trečiosios rūšies cilindrinės funkcijos $H_v^{(1)}$(x) = I_v(x) + iY_v(x), $H_v^{(2)}$(x) = I_v(x) – iY_v(x). Yra ir menamojo argumento cilindrinių funkcijų I_v(x) = i^–vI_v(ix) ir K_n(x) = $\underset{v\to n}{\lim }\frac{\mathrm{\pi }}{2}\frac{I_{-v}(x)-I_v(x)}{\sin vx}$, jos tenkina diferencialinę lygtį x²y′′ + xy′ + (x² + v²)y = 0. Didelėms argumento reikšmėms galioja cilindrinės funkcijos asimptotinės formulės $I_v(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi }x}}\cos \left(x-\frac{1}{2}v\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$, $Y_v(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi }x}}\sin \left(x-\frac{1}{2}v\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$. Jomis remiantis įrodoma, kad funkcijos I_ν(x) ir Y_ν(x), kai ν – realusis skaičius, turi be galo daug realiųjų šaknų. L. Euleris, nagrinėdamas apskritosios membranos svyravimus, 1764 gavo atskirąjį cilindrinių funkcijų atvejį. F. W. Besselis, kurio vardu kartais vadinamos visos cilindrinės funkcijos, gavo jas 1816 spręsdamas Keplerio lygtį. Cilindrinės funkcijos visapusiškai išnagrinėtos (1824 – F. W. Besselio, vėliau kitų). Vartojamos matematinėje fizikoje (pvz., nagrinėjant šilumos judėjimą ar pusiausvyrą cilindre), technikoje, kvantinėje mechanikoje.

-Besselio funkcijos, Beselio funkcijos