determinantas

determinanto skaičiavimo Sarruso taisyklė

determinántas (lot. determinans, kilm. determinantis – apibrėžiantis), kvadratinės matricos determinantas yra algebrinė suma visų galimų sandaugų, gautų parenkant po vieną dauginamąjį iš kiekvienos matricos eilutės taip, kad dauginamieji priklausytų skirtingiems stulpeliams.

Sutvarkius sandaugų pirmuosius arba antruosius dauginamųjų indeksus (rodančius, kurioms matricos eilutėms arba kuriems stulpeliams dauginamieji priklauso) pagal natūraliąją tvarką (1, 2, …, n) sandaugai prirašomas pliuso ženklas, jei kitų (nesutvarkytųjų) indeksų sekoje netvarkų skaičius lyginis, ir minuso ženklas, jei nelyginis. Kiekvienas algebrinės sumos dėmuo vadinamas determinanto nariu. Matricos $A=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ \mathrm{...}\\ a_{n1}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ \mathrm{...}\\ a_{\mathit{nn}}\end{array}\right)$ determinantas žymimas $\left|\begin{array}{c}{a}_{11}\\ \mathrm{...}\\ a_{n1}\end{array}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ \mathrm{...}\\ a_{\mathit{nn}}\end{array}\right|$ arba sutrumpintai |A|. Determinanto eile laikoma jo matricos eilė. n eilės Determinantas turi n! narių. Matricos elementai, eilutės ir stulpeliai vadinami jos determinanto elementais, eilutėmis ir stulpeliais. Antrosios ir trečiosios eilės determinantai apskaičiuojami pagal formules $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$, $\left|\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ a_{31}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ a_{32}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{13}\\ a_{23}\\ a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$. Visus trečiosios eilės determinanto narius galima apskaičiuoti pagal Sarruso taisyklę, kurią nusako schema. Determinanto nariai lygūs atkarpomis sujungtų elementų sandaugoms. Svarbiausios savybės: determinantas nepakinta jo eilutes pakeitus stulpeliais; determinanto ženklas pasikeičia į priešingą sukeitus vietomis 2 eilutes arba 2 stulpelius; determinantas lygus 0, jei kurios nors eilutės (stulpelio) elementai yra proporcingi kitos eilutės (stulpelio) elementams; determinanto eilutės (stulpelio) visų elementų bendrą daugiklį galima iškelti prieš determinanto ženklą; jei determinanto kurios nors eilutės (stulpelio) visi elementai yra 2 dėmenų sumos, tai toks determinantas yra suma dviejų determinantų, kurių viename minėtoji eilutė (stulpelis) sudaryta iš pirmųjų dėmenų, kitame – iš antrųjų dėmenų, o likusieji elementai visuose 3 determinantuose vienodi; determinantas nesikeičia pridėjus prie vienos eilutės (stulpelio) elementų atitinkamus kitos eilutės (stulpelio) elementus, padaugintus iš bet kokio daugiklio. Determinantas, susidedantis iš elementų, esančių pasirinktų k eilučių ir k stulpelių susikirtime, vadinamas k eilės minoru.

Determinanto sąvoka atsirado 18 amžiuje. G. Crameris apibrėžė bet kurios eilės determinantus ir taikė juos n tiesinių lygčių su n nežinomųjų sistemoms spręsti (Cramerio taisyklė). Bendrąją determinantų teoriją sukūrė prancūzų matematikai A. Th. Vandermonde’as (1771), Jacquesʼas Philippeʼas Marie Binet ir A.‑L. Cauchy (1812). Determinanto termino autorius C. F. Gaussas. Determinanto dabartinį žymėjimą pirmasis pavartojo A. Cayley.

1522