diferencialas

diferencialo geometrinė prasmė

diferenciãlas (lot. differens – besiskiriąs, skirtingas), funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojamąja taške x ∈ (a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) – f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A – skaičius, nepriklausantis nuo Δx. Pirmasis dėmuo AΔx yra tos pačios eilės nykstamasis dydis kaip ir Δx, kai Δx → 0. Antrasis dėmuo o(Δx), palyginti su Δx, yra aukštesnės eilės nykstamasis dydis. Taigi, kai A ≠ 0, pirmasis dėmuo AΔx yra diferencijuojamosios funkcijos pokyčio pagrindinė dalis. Jis vadinamas funkcijos diferencialu taške x, atitinkančiu pokytį Δx, ir žymimas dy, arba df(x), arba df. Kai A = 0, diferencialas laikomas lygiu nuliui. Funkcija f(x) diferencijuojama taške x tada ir tik tada, kai egzistuoja funkcijos f(x) išvestinė f′(x). Tada df(x) = f′(x)dx.

Nepriklausomojo kintamojo x pokytis Δx vadinamas jo diferencialu ir žymimas dx, t. y. Δx = dx, o df(x) = f′(x)dx. Funkcijų diferencialai randami remiantis išvestinių skaičiavimu. Pvz., dxⁿ = nx^n–1dx, dsinx = cosxdx, d(u(x) + v(x)) = du(x) + dv(x), d(u(x) · v(x)) = v(x)du(x) + u(x)dv(x). Funkcijos diferencialas turi paprastą geometrinę prasmę. Kreivės y = f(x) taškas M atitinka argumento reikšmę x, taškas P argumento reikšmę x + Δx, o MS yra tos kreivės liestinė taške M. Atkarpa MN – lygiagreti su x ašimi, NP – lygiagreti su y ašimi, o Q yra liestinės MS ir atkarpos PN sankirtos taškas. Pagal išvestinės geometrinę prasmę tanα = f′(x), todėl funkcijos diferencialas dy lygus atkarpos NQ didumui. Taigi funkcijos y = f(x) diferencialas taške x lygus grafiko liestinės taške (x, f(x)) ordinatės pokyčiui. Kelių kintamųjų funkcija f(x₁, x₂, …, x_n), apibrėžta n‑matės erdvės srityje X, vadinama diferencijuojamąja tos srities vidiniame taške (x₁, x₂, …, x_n), jeigu jos pilnąjį pokytį tame taške Δf = f(x₁ + Δx₁, x₂ + Δx₂, …, x_n + Δx_n) – f(x₁, x₂, …, x_n) galima išreikšti lygybe Δf = A₁Δx₁ + A₂Δx₂ + … + A_nΔx_n + α₁Δx₁ + α₂Δx₂ + … + α_nΔx_n; čia A₁, A₂, …, A_n – skaičiai, nepriklausomi nuo Δx₁, Δx₂, …, Δx_n, o α₁, α₂, …, α_n – nykstamieji dydžiai, kai Δ₁x → 0, Δx₂ → 0, …, Δx_n → 0. Šiuo atveju funkcijos f diferencialu df taške (x₁, x₂, …, x_n) vadinama Δf pagrindinė tiesinė dalis df = A₁Δx₁ + A₂Δx₂ + … + A_nΔx_n. Jei funkcija f diferencijuojama taške (x₁, x₂, …, x_n), tai šiame taške egzistuoja baigtinės dalinės išvestinės, ir $\frac{\partial f}{\partial x_1}=A_1$, $\frac{\partial f}{\partial x_2}=A_2$, …, $\frac{\partial f}{\partial x_n}=A_n$, o df = $\frac{\partial f}{\partial x_1}$dx₁ + $\frac{\partial f}{\partial x_2}$dx₂ + … + $\frac{\partial f}{\partial x_n}$dx_n; čia dx₁ = Δx₁, dx₂ = Δx₂, …, dx_n = Δx_n · n kintamųjų funkcija (kai n > 1) gali kuriame nors taške turėti visas baigtines pirmosios eilės dalines išvestines, bet nebūti diferencijuojama tame taške. Jeigu visos dalinės išvestinės yra tolydžios, funkcija yra diferencijuojamoji.

62