diferencialinės lygtys

diferenciãlinės lỹgtys, lygtys sieja nežinomąsias funkcijas, jų įvairių eilių išvestines ir nepriklausomuosius kintamuosius. Skirstomos į paprastąsias diferencialines lygtis ir dalinių išvestinių lygtis.

Paprastosios diferencialinės lygtys

Diferencialinių lygčių eilė yra lygi aukščiausiosios išvestinės eilei. Pvz., y′′ + y – 2c^x = 0 yra antrosios eilės diferencialinė lygtis, $y\frac{\partial u}{\partial x}-x\frac{\partial u}{\partial y}=y$ – pirmosios eilės dalinių išvestinių lygtis. Daugelis gamtos reiškinių, pvz., šilumos sklidimas, svyravimai, filtracija, apibūdinami diferencialinėmis lygtimis arba jų sistemomis. Diferencialinių lygčių sprendiniai rodo, kaip kinta tiriamasis procesas. Pirmosios eilės diferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti argumentą x, funkciją y, ir jos išvestinę y′: F(x, y, y′) = 0. Jei ją galima išspręsti y′ atžvilgiu, tai y′ = f(x, y). Diferencialinės lygties sprendinys geometriškai reiškia kreivę, vadinamą integraline kreive. Jei per tašką (x, y) eina integralinė kreivė, tai jos liestinė tame taške su x ašimi sudaro kampą, kurio tangentas lygus šią kreivę atitinkančio sprendinio išvestinei, t. y. lygus f(x, y). Kai f(x, y) yra tolydi, gali būti tokių taškų, per kuriuos galima nubrėžti ne vieną integralinę kreivę. Jei funkcija f(x, y) yra tolydi ir turi tolydžiąją išvestinę y atžvilgiu arba tenkina Lipschitzo sąlygą: |f(x, y₁) – f(x, y₂)| ≤ L|y₁ – y₂|; čia L – konstanta, tai per kiekvieną srities tašką eina tik viena integralinė kreivė. Uždavinys, kai ieškoma diferencialinės lygties sprendinio, tenkinančio tam tikrą pradinę sąlygą, vadinamas Cauchy uždaviniu. Visi diferencialinių lygčių sprendiniai sudaro kreivių šeimą (bendrąjį sprendinį), priklausančią nuo parametro c, tai yra y(x) = φ(x, c). Cauchy uždavinio sprendinys, tenkinantis sąlygą y(x₀) = y₀, vadinamas atskiruoju sprendiniu. Sąryšis F(x, y, c) = 0, tenkinantis diferencialines lygtis, vadinamas diferencialinių lygčių bendruoju integralu. Iš bendrojo integralo apskaičiavus (jei galima) y, kaip x ir c funkciją, gaunamas bendrasis sprendinys y = φ(x, c). n eilės diferencialine lygtimi su viena nežinomąja funkcija y(x) vadinama lygtis F(x, y, y′, y′′, …, y⁽ⁿ⁾) = 0, arba y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y′, y′′, …, y^n–1). Bendrasis jos sprendinys yra funkcija y(x) = φ(x, c₁, c₂, …, c_n), priklausanti nuo n parametrų c₁, c₂, …, c_n. Pažymėjus y₁ = y, y₂ = y′, …, y_n = y^(n–1), n eilės diferencialines lygtis galima pakeisti pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistema. Pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistema sieja n nežinomųjų funkcijų y₁(x), y₂(x), …, y_n(x), jų pirmosios eilės išvestines ir kintamąjį x: F_i (x, y₁, y₂, …, y_n, $y_1^{\text{'}}$, $y_2^{\text{'}}$, …, $y_n^{\text{'}}$) = 0, i = 1, 2, …, m. Jeigu m = n ir sistemą galima išspręsti $y_i^{\text{'}}$ atžvilgiu, tai $y_i^{\text{'}}$ = f_i (x, y₁, y₂, …, y_n), i = 1, 2, …, n. Aukštesniųjų eilių diferencialinių lygčių sistemas galima pakeisti pirmosios eilės sistemomis, todėl teoriškai pakanka tirti tik pirmosios eilės diferencialinių lygčių sistemas. Diferencialinių lygčių sistemos sprendiniu vadinama n funkcijų y₁(x), y₂(x), …, y_n(x), kurias įrašius į tą sistemą lygtys tampa tapatybėmis. Bendruoju sprendiniu vadinama n funkcijų y_i(x) = φ_i(x, c₁, c₂, …, c_n), i = 1, 2, …, n. Cauchy uždavinys – rasti sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas y_i(x₀) = y_i⁰, i = 1, 2, …, n. Jei taško (x₀, $y_1^0$, $y_2^0$, …, $y_n^0$) aplinkoje f_i (x, y₁, y₂, …, y_n) yra tolydžios ir turi tolydžiąsias dalines išvestines pagal y_i, tai Cauchy uždavinys turi vienintelį sprendinį. Kai kurių paprastųjų diferencialinių lygčių sprendiniai yra elementariosios funkcijos. Dalies diferencialinių lygčių sprendiniai išreiškiami specialiosiomis funkcijomis arba elementariųjų ar specialiųjų funkcijų integralais. Tokios diferencialinės lygtys t. p. laikomos išsprendžiamomis kvadratūromis. Daugelis diferencialinių lygčių nėra išsprendžiamos minėta prasme. Jų sprendinių ieškoma įvairiais metodais. Jei funkcijos f_i(x, y₁, y₂, …, y_n) yra analizinės taško (x₀, $y_1^0$, $y_2^0$, …, $y_n^0$) aplinkoje, tai galima ieškoti lygčių sprendinių, išreikštų laipsninėmis eilutėmis: $y_i(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathit{ik}}{(x-x_0)}^k$. Be to, taikomi apytiksliai metodai: baigtinių skirtumų metodai (Adamso metodas, Eulerio laužčių metodas, Rungės ir Kutta metodas) ir variaciniai metodai (kolokacijų metodas, Ritzo ir Galiorkino metodas). Kartais nebūtina rasti sprendinį, pakanka žinoti, kaip kinta integralinės kreivės.

Dalinių išvestinių diferencialinės lygtys

Dalinių išvestinių lygtis sieja kelių kintamųjų funkciją u(x₁, x₂, …, x_n), jos dalines išvestines ir nepriklausomus kintamuosius: F$\left(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},\mathrm{...},\frac{\partial u}{\partial x_n},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1{x}_2},\mathrm{...},\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x_n^k}\right)$ = 0. Jei ją galima išspręsti aukščiausiosios eilės išvestinės, pvz., $\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x_1^k}$, atžvilgiu, tai nagrinėjama lygtis $\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x_1^k}=f\left(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},\mathrm{...},\frac{\partial u}{\partial x_n},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2},\mathrm{...},\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x_n^k}\right)$. Į pirmosios eilės dalinių išvestinių diferencialinę lygtį F(x₁, x₂, …, x_n, u, p₁, p₂, …, p_n) = 0 įeina tik pirmosios eilės dalinės išvestinės; čia $p_i=\frac{\partial u}{\partial x_i}$, i = 1, 2, …, n, arba $\frac{\partial u}{\partial x_n}$ = f(x₁, x₂, …, x_n, u, p₁, p₂, …, p_n–1). Šios lygties sprendinys geometriškai reiškia paviršių n+1‑matėje erdvėje. Cauchy uždavinys yra išsprendžiamas. Antrosios eilės dalinių išvestinių diferencialinė lygtis sieja argumentus, funkciją, jos pirmosios ir antrosios eilės dalines išvestines. Kai tenkinamos tam tikros sąlygos, Cauchy uždavinys yra išsprendžiamas. Dažnai sprendžiamas antrosios eilės dalinių išvestinių lygties kraštinis arba mišrusis uždavinys. Jei n = 2, tai diferencialinė lygtis užrašoma taip: F(x, y, u, p, q, r, s, t) = 0; čia $p=\frac{\partial u}{\partial x}$, $q=\frac{\partial u}{\partial y}$, $r=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$, $s=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$, $t=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$. Jei D = 4$\frac{\partial F}{\partial r}$ – $\frac{\partial F}{\partial t}$ – ${\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right)}^2$ > 0, tai ši lygtis vadinama elipsine (pvz., Laplace’o lygtis). Išsprendžiami tik jų kraštiniai uždaviniai. Jei D < 0, lygtis vadinama hiperboline (pvz., stygos virpesių lygtis), jei D = 0 – paraboline (pvz., šilumos laidumo lygtis). Kai n = 2, kitokių diferencialinių lygčių nėra. Aukštesniųjų eilių diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis bendrieji sprendiniai priklauso nuo kelių laisvųjų funkcijų. Norint gauti atskirą sprendinį reikia spręsti pradinį, kraštinį arba mišrųjį uždavinį.

Istorija

Diferencialinių lygčių teorija atsirado 17 a. pabaigoje su diferencialiniu ir integraliniu skaičiavimu. Pirmieji diferencialines lygtis nagrinėjo I. Newtonas ir G. W. Leibnizas (pirmasis pavartojo diferencialinių lygčių terminą). Iš pradžių diferencialinių lygčių teorija priklausė matematinei analizei, bet fizikos, mechanikos ir kitų gamtos mokslų raida skatino diferencialinių lygčių teorijos plėtrą. 18 a. J. Bernoullio, D. Bernoullio, J. Le R. d’Alemberto, L. Eulerio ir kitų matematikų darbai diferencialinių lygčių teoriją pavertė atskira matematikos šaka. 19 a. diferencialines lygtis griežtai matematiškai pagrindė A.‑L. Cauchy, J. Fourier, J. L. de Lagrange’as, A. Liapunovas. Nuo 19 a. pabaigos diferencialinių lygčių teorijos raidai įtakos turėjo funkcinės analizės idėjos ir metodai. Svarbūs Charlesʼio Émileʼio Picard’o (Prancūzija), Jacqueso Salomono Hadamard’o (Prancūzija), S. Sobolevo darbai. Atsirado naujų krypčių, pvz., diferencialinių lygčių teorija funkcinėse (pvz., Banacho, Hilberto) erdvėse.

3034