diferencialinis skaičiavimas

diferenciãlinis skaičiãvimas, matematikos šaka, tirianti funkcijų išvestines, diferencialus, jų taikymą ir funkcijų savybes, susijusias su išvestinės ir diferencialo sąvokomis. Diferencialiniam skaičiavimui svarbi baigtinių pokyčių formulė, L’Hospitalio taisyklė, neišreikštinė funkcija, Rolle’io teorema, Tayloro formulė. 17 a. pirmoje pusėje buvo sukurti kreivės liestinės ir binormalės brėžimo bei funkcijų ekstremumų radimo metodai, kuriems panaudota išvestinė (R. Descartes’as, P. de Fermat). I. Newtonas ir G. W. Leibnizas kiekvienas savaip suformulavo ir išrutuliojo diferencialinį skaičiavimą įrodydami glaudų diferencijavimo ir integravimo ryšį. 1666 I. Newtonas sukūrė fliuksijų metodą. Funkcijas jis vadino fliuentomis ir laikė dydžiais, kintančiais laiko atžvilgiu, o išvestines traktavo kaip tų dydžių kitimo spartą ir vadino fliuksijomis. Simboliu $\dot{x}$ reiškė kintamojo dydžio x fliuksiją (t. y. išvestinę), $\ddot{x}$, $\stackrel{⃛}{x}$, … – antrąją, trečiąją ir t. t. išvestines (simbolius y′, y′′, …, ir f′(x), f′′(x) išvestinėms žymėti 18 a. sukūrė J. L. de Lagrange’as). I. Newtonas fliuksijų metodą iš dalies grindė ribos sąvoka. 1675 G. W. Leibnizas sukūrė formalias diferencijavimo taisykles, pradėjo vartoti kintamojo x ir funkcijos y diferencialų simbolius dx, dy, …, funkcijos y = y(x) išvestinę žymėjo $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. Šį naująjį skaičiavimą jis pavadino diferencialiniu skaičiavimu. G. W. Leibnizo ir apskritai tų laikų požiūriui į santykio $\frac{∆y}{∆x}$ ribą, kai Δx → 0 (t. y. į išvestinę), būdinga tai, kad diferencialai dy ir dx buvo laikomi be galo mažais dydžiais, o išvestinė $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ – jų santykiu. Be galo mažas dydis buvo suprantamas kaip nekintamas dydis, nelygus nuliui, bet mažesnis (absoliučiuoju didumu) už bet kokį baigtinį dydį. Toks be galo mažų dydžių aiškinimas teikė mistinį pobūdį: ne viskas buvo įrodyta, daug kas atrodė prieštaringa ir neaišku, nors rezultatai buvo gaunami teisingi. Todėl diferencialinio skaičiavimo pagrindai 18 a. buvo dažnai kritikuojami. Tik 19 a. A.‑L. Cauchy, B. Bolzanas, C. F. Gaussas, remdamiesi ribos sąvoka, griežtai pagrindė diferencialinį skaičiavimą. Funkcinės analizės pagrindu 20 a. pradžioje funkcijų normuotosiose erdvėse (pvz., Banacho erdvėse) išvestinę apibrėžė M. Frechét ir René Eugèneʼas Gateaux (Prancūzija).