diofantinės lygtys

diofántinės lỹgtys, neapibržtosios lỹgtys, algebrinės lygtys arba jų sistemos, kuriose nežinomųjų daugiau negu lygčių ir ieškoma tik sveikųjų (kartais racionaliųjų) sprendinių. Paprasčiausia diofantinė lygtis yra ax + by = 1 (a ir b – sveikieji tarpusavyje pirminiai skaičiai). Ji turi be galo daug sprendinių: jei x₀ ir y₀ yra šios lygties sprendiniai, tai x = x₀ + bn ir y = y₀ – an (n – sveikasis skaičius) t. p. yra šios lygties sprendiniai. Lygtis x(x + 1) = 4y(y + 1) neturi natūraliųjų sprendinių, bet turi be galo daug teigiamų racionaliųjų sprendinių. Kai kurias diofantines lygtis tyrė jau Diofantas (3 a.); jis ieškojo racionaliųjų (nebūtinai sveikųjų) sprendinių. Kai kurios diofantinės lygtys siejasi su garsiomis problemomis. Pvz., Waringo problema: ar kiekvieną natūralųjį skaičių N galima išreikšti neneigiamų sveikųjų skaičių, pakeltų n laipsniu, suma ($N=x_1^n+x_2^n+\mathrm{...}+x_s^n$; s nepriklauso nuo N); Goldbacho dvinarė problema: ar visuomet išsprendžiama pirminiais skaičiais lygtis x + y = N, kai N – lyginis natūralusis skaičius. 1934 analogišką trinarę problemą (N – pakankamai didelis nelyginis natūralusis skaičius) teigiamai išsprendė I. Vinogradovas. 20 a. paskutiniame dešimtmetyje Andrew Johnas Wilesas (Didžioji Britanija) įrodė, kad diofantinė lygtis xⁿ + yⁿ = zⁿ, kai n – natūralusis skaičius, didesnis už 2, neišsprendžiama natūraliaisiais skaičiais (Fermat didžioji teorema). Svarbi diofantinė lygtis yra x² – Dy² = 1, dar vadinama Pellio lygtimi; čia D – natūralusis skaičius. Jei D ≠ N² (N – natūralusis skaičius), ši lygtis turi be galo daug sveikųjų sprendinių. Klausimas, ar yra bendras diofantinės lygties sprendimo algoritmas, buvo žinomas kaip dešimtoji Hilberto problema. 1970 Jurijus Matijasevičius (SSRS) įrodė, kad tokio algoritmo nėra.