dvilypis integralas

dvilỹpis integrãlas, dviejų kintamųjų funkcijos f(x, y) integralas. Funkcijos f(x, y) Riemanno dvilypis integralas apibrėžtoje plokštumos taškų M(x, y) aibėje E, turinčioje plotą, apibrėžiamas laipsniškai pagalbinėmis sąvokomis. Iš pradžių aibė E bet kaip padalijama į baigtinį skaičių nesikertančių dalinių aibių E₁, E₂, …, E_n, turinčių plotus S₁, S₂, …, S_n ir skersmenis λ₁, λ₂, …, λ_n (aibės E_i skersmeniu vadinamas atstumų tarp įvairių aibės E_i taškų dvejetų tikslusis viršutinis rėžis). Kiekvienoje dalinėje aibėje E_i laisvai pasirenkamas taškas M_i(x_i, y_i) ir sudaroma integralinė suma σ = f(x₁, y₁) · S₁ + f(x₂, y₂) · S₂ + … + f(x_n, y_n) · S_n. Įvairiais būdais dalijant aibę E į dalis ir pasirenkant dalinėse aibėse po tašką gaunamos įvairios integralinės sumos σ: skaičius I vadinamas funkcijos f(x, y) Riemanno dvilypiu integralu aibėje E, jei kiekvienam ε > 0 egzistuoja δ > 0, toks, kad |I − σ| < ε bet kokioms integralinėms sumoms σ, sudarytoms tokiems aibės E padaliniams, kurių visi λ_i mažesni už δ (sutrumpintai rašoma $I=\underset{\max {\lambda }_i\to 0}{\lim }\sigma$). Dvilypis integralas žymimas $\underset{E}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, $\underset{E}{\iint }f(M)\mathrm{d}S$, $\underset{E}{\int }f(M)\mathrm{d}S$. Funkcija f(x, y) vadinama integruojamąja Riemanno prasme, jei egzistuoja šios funkcijos Riemanno dvilypis integralas. Visos tolydžiosios aibėje E funkcijos integruojamos Riemanno prasme. Lebesgue’o dvilypis integralas apibrėžiamas taip pat kaip vieno kintamojo funkcijos Lebesgue’o integralas pakeitus tiesės taškų aibės Lebesgue’o matą plokštumos taškų aibės Lebesgue’o matu. Jei funkcija yra integruojama Riemanno prasme, ji integruojama ir Lebesgue’o prasme, ir abu, Riemanno ir Lebesgue’o, integralai yra lygūs. Egzistuoja funkcijos, integruojamos Lebesgue’o, bet neintegruojamos Riemanno prasme. Panašiai kaip Lebesgue’o dvilypiu integralu, yra apibrėžiami ir dvilypiai integralai pagal kitokius (ne Lebesgue’o) matus. Dvilypis integralas dažniausiai apskaičiuojamas išreiškiant jį kartotiniu integralu.