eilutė

eilùtė, reiškinys, sudarytas iš begalinės sekos a₁, a₂, …, a_n, … narių, sujungtų sudėties ženklu, a₁ + a₂ + … + a_n + … arba $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$. Eilutės nariai gali būti bet kurios erdvės, kurioje apibrėžtos sudėties ir ribos sąvokos, elementai. Kai eilutės nariai yra skaičiai, eilutė vadinama skaičių eilute. Sumos, gautos sudėjus pirmuosius eilutės narius, S_n = a₁ + a₂ + … + a_n, n = 1, 2, … , vadinamos dalinėmis sumomis. Jeigu eilutės dalinių sumų seka (S_n) turi baigtinę ribą $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=S$, sakoma, kad eilutė konverguoja, o skaičius S vadinamas eilutės suma, ir rašoma a₁ + a₂ + … + a_n + … = S arba $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S$. Pvz., eilutė 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2^2}$ + … $\frac{1}{2^{n-1}}$ + … konverguoja ir jos suma S = 2, nes S_n = 2 – $\frac{1}{2^{n-1}}$, o S = $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2$ = 2; eilutė 1 + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ + … $\frac{1}{n}$ + … (harmoninė eilutė) diverguoja, nes $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\mathrm{\infty }$; eilutė 1 – 1 + 1 – 1 + … diverguoja, nes sekos (S_n) riba neegzistuoja. Tiriant skaičių eilutes sprendžiami du uždaviniai: nustatoma, ar eilutė konverguoja; jei konverguoja, apskaičiuojama jos suma. Tiksliai apskaičiuoti eilutės sumą dažniausiai neįmanoma. Praktikoje paprastai pakanka ją apskaičiuoti apytiksliai (norimu tikslumu), t. y. imama dalinė suma S_n, kai dėmenų skaičius n yra pakankamai didelis. Konverguojančios eilutės bendrasis narys a_n artėja prie nulio, kai n → ∞. Tai būtina eilutės konvergavimo sąlyga, tačiau nepakankama (pvz., harmoninės eilutės bendrasis narys $a_n=\frac{1}{n}\to 0$, kai n → ∞, bet ji diverguoja). Eilutės konvergavimui tirti dažniausiai taikoma palyginimo požymis, d’Alembert’o požymis, Cauchy požymis, Raabe’s požymis. Jeigu konverguoja eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$, konverguoja ir eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$. Šiuo atveju sakoma, kad eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konverguoja absoliučiai. Kai eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konverguoja, o eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ diverguoja, sakoma, kad eilutė konverguoja reliatyviai. Skaičių eilutė, kurioje po teigiamo nario yra neigiamas, o po neigiamo teigiamas, vadinama alternuojančiąja eilute. Kai eilutės nariai yra funkcijos f_n (x), n = 1, 2, …, apibrėžtos srityje X, eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ vadinama funkcijų eilute. Kintamajam x suteikus reikšmę x₀ ∈ X gaunama skaičių eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x_0)$. Kai ši eilutė konverguoja, sakoma, kad eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ taške x₀ konverguoja, o priešingu atveju – diverguoja. Visi taškai, kuriuose funkcijų eilutė konverguoja, sudaro konvergavimo sritį. Dažniausiai funkcijų eilutės konvergavimo sritį pavyksta rasti naudojant konvergavimo požymius. Funkcijų eilutės dalinė suma yra kintamojo x funkcija S(x) = f₁(x) + f₂(x) + … + f_n(x), o suma $S(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n(x)$. Šios funkcijos yra apibrėžtos eilutės konvergavimo srityje. Funkcijų eilučių teorijoje svarbi tolygaus konvergavimo sąvoka. Sakoma, kad funkcijų eilutė konverguoja tolygiai į sumą S(x) srityje X, jeigu dalinių sumų seka (S_N(x)) tenkina sąlygą: bet kurį skaičių ε > 0 atitinka toks natūralusis skaičius N, kad nelygybė |S(x) – S_n(x)| < ε yra teisinga su visais x ∈ X, kai n > N. Jeigu eilutės nariai yra tolydžiosios funkcijos srityje X, kurioje eilutė konverguoja tolygiai, ir jos suma S(x) yra tolydi srityje X. Praktikoje dažnai reikia spręsti uždavinį: turint funkciją f(x) parašyti tokią laipsninę eilutę, kurios suma yra ta funkcija. Šiuo atveju sakoma, kad funkciją reikia išreikšti funkcijų eilute. Pvz., $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\mathrm{...}+{(-1)}^{n-1}\cdot$ $\frac{x^{2n-1}}{(2^{n-1})!}$ + … . Funkcijoms reikšti dažniausiai naudojamos laipsninės eilutės $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_0{(x-x_0)}^n$ ir trigonometrinės eilutės $a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \mathit{nx}+\mathit{bn}\sin \mathit{nx})$. Eilutes nagrinėja matematinė analizė. Eilutės naudojamos funkcijų teorijoje, apytiksliai skaičiuojant skaičius ir funkcijų reikšmes, diferencialinių lygčių teorijoje. Daugelio matematikos, fizikos ir technikos uždavinių sprendimas tampa paprastesnis, kai turimos ir ieškomos funksijos išreiškiamos eilučių sumomis.

Pirmuosius eilučių pavyzdžius pateikė senovės graikai. Archimedas sumavo eilutę, kurios nariai sudarė geometrinę progresiją su vardikliu 1/4. Eilučių teorijos raidai svarbūs buvo I. Newtono darbai (1665–66), kuriuose jis gavo funkcijų (1 + x)^m, ln(1 + x), e^x, sin x, cos x, arcsin x dėstinius laipsninėmis eilutėmis. 1715 B. Tayloras sudarė bendrąją laipsninę eilučių formulę funkcijai išreikšti (Tayloro eilutė). L. Euleris pirmasis pradėjo naudoti eilutes funkcijų savybėms tirti, skaičių teorijoje, sudarė trigonometrines eilutes. B. Bolzano (1817) ir A.‑L. Cauchy (1821) nustatė būtinąsias ir pakankamąsias eilučių konvergavimo sąlygas; be to, A.‑L. Cauchy nurodė keletą eilučių konvergavimo požymių. P. G. Dirichlet ir B. Riemannas nustatė skirtumą tarp absoliučiai ir reliatyviai konverguojančių eilučių.

Tolygaus konvergavimo sąvoką pirmą kartą 1847 pavartojo G. G. Stokesas ir 1848 Philippas Ludwigas von Seidelis (Vokietija).

62