ekstremumas

ekstremumas

ekstrèmumas, funkcijos maksimumas arba minimumas. Taškas x₀ ∈ A ⊂ R vadinamas funkcijos f : A → R lokaliojo maksimumo tašku, jei yra tokia to taško aplinka U(x₀, ε) = (x_0 – ε, x₀ + ε), kai nelygybė f(x) ≤ f(x₀) teisinga su visais x ∈ U(x₀, ε). Priešinga nelygybė apibrėžia lokaliojo minimumo tašką. Lokaliojo maksimumo ir lokaliojo minimumo taškai vadinami ekstremumo taškais, funkcijos reikšmė tokiame taške – ekstremumu. Pvz., funkcija $\frac{3}{4}{x}^4-2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+6x-1$ turi du lokaliojo minimumo taškus x₁ = –1 ir x₂ = 2 ir su skirtingais minimumais $f_{\min }=f(-1)=-5\frac{3}{4}$, f_min = f(2) = 1, ir 1 lokaliojo maksimumo tašką x₃ = 1 su maksimumu $f_{\max }=f(1)=2\frac{1}{4}$ (pav., a). Taškai x₁, x₂ ir x₃ yra šios funkcijos ekstremumo taškai, o reikšmės f(x₁), f(x₂) ir f(x₃) – jos ekstremumai. Ekstremumo taške funkcijos išvestinė lygi nuliui.

Taškas x₀, kuriame f′(x₀) = 0, vadinamas funkcijos stacionariuoju tašku. Ne kiekvienas stacionarusis taškas yra ekstremumo taškas. Pvz., funkcijai f(x) = x³ taškas x₀ = 0 yra stacionarusis taškas, nes f′(0) = 0, bet taške x₀ = 0 ši funkcija ekstremumo neturi (pav., b). Funkcija gali turėti ektremumą ir taške, kuriame išvestinė neegzistuoja. Pvz., f(x) $=\sqrt[3]{x^2}$, apibrėžta intervale (–∞, ∞), taške x = 0 turi minimumą, nes f(0) = 0 ir f(x) $=\sqrt[3]{x^2}>0$, kai x ≠ 0 (pav., c), tačiau tos funkcijos išvestinė f′(x) taške x = 0 neegzistuoja. Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba ji neegzistuoja, vadinami tos funkcijos kritiniais taškais. Funkcijos ekstremumo taškų ieškoma iš kritinių taškų. Jeigu yra tokia kritinio taško x₀ aplinka (x₀ – ε, x₀) ∪ (x₀, x₀ + ε), kurioje tolydžioji funkcija f turi išvestinę f′(x) ir ji keičia ženklą, kai x pereina x₀, tai taške x₀ ta funkcija turi ektremumą: maksimumą, kai f′(x) iš teigiamos tampa neigiama, minimumą, kai f′(x) iš neigiamos tampa teigiama. Jei f′(x) nekeičia ženklo, kai x pereina x₀, tai taške x₀ ektremumo nėra. Ektremumams tirti dar taikoma antroji išvestinė f′′(x). Jei f′(x₀) = 0, o f′′(x₀) ≠ 0, tai taške x₀ – funkcija f turi ektremumą: f(x₀) – maksimumas, kai f′′(x₀) < 0; f(x₀) – minimumas, kai f′′(x₀) > 0. Kai f′(x₀) = 0 ir f′′(x₀) = 0, ektremumui tirti naudojamos aukštesniosios eilės išvestinės. Jei f′(x₀) = f′′(x₀) = … = f^(n–1)(x₀) = 0, o f⁽ⁿ⁾(x₀) ≠ 0 (n ≥ 2), tada: jei n – lyginis skaičius ir f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, tai f(x₀) yra maksimumas; jei n – lyginis skaičius ir f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, tai f(x₀) – minimumas; jei n – nelyginis skaičius, taške x₀ ektremumo nėra. Daugelio kintamųjų funkcijos ekstremumo taškai ir ekstremumai apibrėžiami panašiai kaip vieno kintamojo funkcijos. Funkcijos didžiausias ir mažiausias reikšmes tenka skaičiuoti sprendžiant įvairius matematinio taikymo uždavinius, susijusius su optimaliojo sprendinio radimu.

62

-maksimumas, minimumas