funkcija

fùnkcija (lot. functio – atitikimas, įvykdymas), taisyklė (dėsnis), kuri kiekvienam aibės X elementui priskiria vieną arba kelis aibės Y elementus. Jei kiekvienam x ∈ X funkcija f priskiria vienintelį y ∈ Y, tai f vadinama vienareikšme funkcija; jei bent vienam x ∈ X funkcija f priskiria keletą aibės Y elementų, tai f vadinama daugiareikšme funkcija. Vienareikšmė funkcija dar vadinama aibės X atvaizdžiu aibėje Y ir žymima f : X → Y, arba f : x → f(x) ∈ Y, arba y = f(x), x ∈ X. Elementas y = f(x) vadinamas funkcijos f reikšme taške x, aibė X – funkcijos f apibrėžimo sritimi (žymima D(f)), aibė Y – funkcijos kitimo sritimi, aibė E(f) = {f(x) ∈ Y : x ∈ X} – funkcijos f reikšmių sritimi, aibė G(f) = {(x, f(x)) ∈ X × Y : x ∈ X} – funkcijos f grafiku. Jei A ⊂ X, B ⊂ Y, tai aibė f(A) = {f(x) ∈ Y : x ∈ A} vadinama aibės A vaizdu, o aibė f^–1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} – aibės B pirmavaizdžiu. Jeigu B = {y}, tai aibė f^–1(y) = {x : f(x) ∈ y} vadinama elemento y pirmavaizdžiu. Jeigu f(X) = Y, sakoma, kad funkcija f atvaizduoja aibę X į aibę Y. Jeigu f : X → Y, g : Y → Z, tai funkcija $g\circ f\mathrm{:}x\to g(f(x))\in Z$ vadinama funkcijų g ir f superpozicija, arba sudėtine funkcija. Bendruoju atveju X ir Y gali būti bet kokių elementų (pvz., logikoje – teiginių) aibės. Funkcija gali būti išreikšta: žodžiais, lentele, formule, kelių formulių sistema, grafiku. Jei X ir Y yra realiųjų skaičių aibės (X, Y ⊂ R), f vadinama realiąja vieno realiojo kintamojo funkcija. Jeigu X ⊂ Rⁿ, Y ⊂ R, f vadinama kelių realiųjų kintamųjų funkcija. Jeigu X = N (natūraliųjų skaičių aibė), ar X = Z (sveikųjų skaičių aibė), f vadinama aritmetine funkcija. Jei X – kompleksinių skaičių aibė, f vadinama kompleksinio kintamojo funkcija. Funkcija, tenkinanti algebrinę lygtį, vadinama algebrine funkcija, netenkinanti algebrinės lygties – transcendenčiąja funkcija. Kitos funkcijos svarbiausios savybės: tolydumas (tolydžioji funkcija), funkcijos riba, išvestinė, integralo egzistavimas, analiziškumas (analizinė funkcija), matumas (mačioji funkcija).

Funkcijos terminą 1692 pavartojo G. W. Leibnizas įvairioms atkarpoms, vienaip ar kitaip susijusioms su kurios nors tiesės taškais, apibūdinti. 1718 J. Bernoulli apibrėžė funkciją nevartodamas geometrinių vaizdinių. 1748 J. Bernoulli funkcijos apibrėžimą patikslino L. Euleris. P. G. L. Dirichlet tikslindamas funkcijos apibrėžimą didelę reikšmę teikė atitikties idėjai.