funkcijos aproksimavimas

fùnkcijos aproksimãvimas, metodas, kuriuo turima funkcija apytiksliai išreiškiama kita, paprastesnio pavidalo funkcija (pvz., tolydžioji funkcija – tam tikro laipsnio algebriniu daugianariu). Aproksimuojant funkciją f(x) intervale [a, b] ieškoma tokios funkcijos P(x), kad abiejų funkcijų skirtumas tame intervale būtų mažiausias. Aproksimuoti galima įvairiai. Kvadratinis aproksimavimas: funkcijai f(x) ieškoma tokio daugianario $P(x)=\sum _{k=0}^n{c}_k{u}_k(x)$, kad $I_n=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{|f(x)-P(x)|}^{2}q(x)\mathrm{d}x$(q(x) > 0) būtų mažiausias. Žinomos funkcijos u_k(x) (k = 0, 1, 2, …) yra tiesiškai nepriklausomos intervale [a, b]. Jei jos ortogonalios ir normuotos ($\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}_m(x)u_k(x)q(x)\mathrm{d}x=0$, kai m ≠ k ir integralas lygus 1, kai m = k), P(x) koeficientai c_k = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)u_k(x)q(x)\mathrm{d}x$, o gauti daugianariai P(x) yra funkcijos f(x) Fourier eilutės c₀u₀(x) + c₁u₁(x) + c₂u₂(x) + … dalinės sumos. Jei limI_n = 0, sakoma, kad Fourier eilutė ir aproksimuojančių daugianarių P(x) seka pagal vidurkį konverguoja į funkciją f(x). Jei jos konverguoja tolygiai ir f(x) yra tolydi, eilutės suma ir sekos riba lygios f(x). Tolygusis aproksimavimas: tolydžiajai intervale [a, b] funkcijai f(x) ieškoma tokio daugianario $P(x)=\sum _{k=0}^n{c}_k{u}_k(x)$, kad $L=\underset{[\mathrm{a}\mathrm{,}\mathrm{b}]}{\max }|f(x)-P(x)|q(x)$(q(x) > 0) būtų mažiausias. Žinomos funkcijos u_k(x) yra tolydžios intervale [a, b] ir sudaro Čebyšovo sistemą, t. y. nė vienas $\sum _{k=0}^n{a}_k{u}_k(x)$ pavidalo daugianaris, kuriame bent vienas koeficientas u_k ≠ 0 intervale [a, b] nėra lygus nuliui daugiau kaip n taškuose (algebriniai daugianariai a₀ + a₁x + …+ a_nxⁿ tenkina tą sąlygą, todėl 1, x, x², …, xⁿ sudaro Čebyšovo sistemą). P. Čebyšovas (Rusija) įrodė būtinąją ir pakankamąją sąlygą, kad P(x) būtų daugianaris, tolygiai aproksimuojantis funkciją f(x): svertinis skirtumas R(x) = (f(x) – P(x))q(x) pasiekia intervale [a, b] savo absoliučiojo didumo maksimumą ne mažiau kaip n + 2 iš eilės einančiuose taškuose ζ_k(a ≤ ζ₁ < ζ₂ < … < ζ_n+2 ≤ b) kaskart keisdamas ženklą. Gautasis daugianaris yra vienintelis. Aproksimuojant algebriniais daugianariais ir imant n = 0, 1, 2, … gautų daugianarių seka intervale [a, b] tolygiai konverguoja į funkciją f(x). Analogišką sąlygą, tolygiai aproksimuojant tolydžiąsias funkcijas kompleksinėje srityje, įrodė A. Kolmogorovas.