grandininė trupmena

grandninė trùpmena, skaičius, užrašytas pavidalu: $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\mathrm{...}}}$; čia a₀ – sveikasis skaičius, a₁, a₂, … – natūralieji skaičiai, vadinami grandininės trupmenos elementais. Jei elementų skaičius baigtinis, trupmena vadinama baigtine grandinine trupmena, jei begalinis – begaline grandinine trupmena. Grandininė trupmena dar užrašoma simboliu [a₀, a₁, a₂, …, a_n] arba [a₀, a₁, a₂, …, a_n, …]. Kiekviena baigtinė grandininė trupmena reiškia racionalųjį skaičių ir, atvirkščiai, kiekvienas racionalusis skaičius $\frac{a}{b}$ pritaikius Euklido algoritmą skaičiams a ir b gali būti užrašytas baigtine grandinine trupmena. Grandininės trupmenos dalis [a₀, a₁, a₂, …, a_k], užrašyta trupmena $\frac{p_k}{q_k}$, vadinama tos grandininės trupmenos k reduktu. Grandininės trupmenos reduktai yra nesuprastinamosios trupmenos. Grandininių trupmenų reduktų skaitiklius ir vardiklius sieja rekurenčiosios formulės: p_k+1 = a_k+1p_k + p_k–1, q_k+1 = a_k+1q_k + q_k–1. Grandininių trupmenų reduktai yra geriausi iracionaliojo skaičiaus $\alpha =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{p_k}{q_k}$ artiniai. Jiems galioja nelygybė: . Grandininės trupmenos dar taikomos diofantinėms lygtims ir lyginiams spręsti. Pvz., diofantinės lygties ax + by = c su sveikaisiais koeficientais a, b, c, kai a ir b neturi bendrų daliklių, didesnių už 1, sveikieji sprendiniai gaunami iš formulių: x = (–1)^n–1cq_n–1 + bt, y = (–1)ⁿcp_n–1 – at; čia $\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$ yra skaičiaus $\frac{a}{b}$ skleidinio grandininės trupmenos priešpaskutinis reduktas, t – bet kuris sveikasis skaičius.

Grandinines trupmenas tyrė Rafaelis Bombelli (Italija), Ch. Huygensas, L. Euleris, F. B. Cavalieri, Johnas Wallisas (Anglija), J. H. Lambertas, C. F. Gaussas, É. Galois.