grupė

grùpė (pranc. groupe), elementų aibė G, kurioje yra apibrėžiama operacija ∗ (bet kuriems dviem elementams a ir b priskiriamas šios aibės trečias elementas c), tenkinanti 3 aksiomas: bet kuriems trims aibės G elementams a, b ir c galioja asociatyvumo dėsnis (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c); aibėje G egzistuoja neutralusis elementas e, kuriam a ∗ e = e ∗ a = a; kiekvienam aibės G elementui a šioje aibėje egzistuoja simetriškasis elementas a^–1, kuriam a ∗ a^–1 = a^–1 ∗ a = e. Jei bet kuriems dviem aibės G elementams a ir b galioja komutatyvumo dėsnis a ∗ b = b ∗ a, grupė vadinama Abelio (komutatyviąja) grupe. Grupės elementai gali būti įvairūs objektai: skaičiai, matricos, funkcijos, vektoriai, geometrinės figūros. Jei apibrėžiama operacija yra algebrinė ir reiškia daugybą, grupė vadinama multiplikacine, jei sudėtį – adicine. Multiplikacinės grupės neutralusis elementas vadinamas vienetu, simetriškasis – atvirkštiniu elementu; adicinės grupės neutralusis elementas vadinamas nuliu, simetriškasis – priešinguoju elementu. Kiekviena adicinė grupė yra Abelio grupė. Pvz., teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra multiplikacinė grupė; sveikųjų skaičių aibė 0, 1, 2, … yra adicinė grupė. Svarbi simbolių 1, 2, …, n keitinių $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ i_1& i_2\end{array}\begin{array}{cc}\mathrm{...}& n\\ \mathrm{...}& i_n\end{array}\right)$ grupė; šios lentelės antroje eilutėje užrašyti tie patys simboliai, tik kita tvarka. Keitinių a ir b operacija apibrėžiama taip: jei keitinyje a po simboliu x yra simbolis y, o keitinyje b po simboliu y yra z, tai keitinyje a ∗ b po simboliu x yra z. Kai n ≥ 3, ši grupė nėra Abelio grupė. Pagal elementų skaičių grupės skirstomos į baigtines ir begalines. Baigtinės grupės elementų skaičius vadinamas jos eile. Grupės elementų poaibis, kuris sudaro grupė pagal tą pačią operaciją, vadinamas pogrupiu. Pvz., lyginių skaičių aibė yra sveikųjų skaičių adicinės grupės pogrupis. Multiplikacinės grupės cikliniu pogrupiu vadinamas pogrupis, sudarytas iš vieno jos elemento visų sveikųjų laipsnių. Laipsniai apibrėžiami taip: $a^k=\underset{k}{\underbrace{a\cdot a\cdot \mathrm{...}\cdot a}}$, $a^{-k}={\left(a^{-1}\right)}^k$ (k – natūralusis skaičius) ir a⁰ = e. Grupė, sutampanti su cikliniu pogrupiu, vadinama cikline. Vienodos eilės ciklinės grupės yra tarpusavyje izomorfiškos. Grupių teorijos teoremomis ir savybėmis naudojamasi algebroje, geometrijoje, topologijoje, kristalografijoje, atomo fizikoje.

Grupės sąvoka atsirado 18 amžiuje. J. L. de Lagrange’as ir A.-Th. Vandermonde’as, tirdami algebrinių lygčių išsprendžiamumą radikalais, 1771 nagrinėjo keitinių grupes. 1824 N. H. Abelis, 1830 É. Galois nurodė ryšį tarp keitinių grupės ir algebrinių lygčių savybių. Plėtojant grupių teoriją svarbūs C. Jordano darbai. 1872 grupių svarbą geometrijoje atskleidė F. Ch. Kleinas suklasifikuodamas geometriją pagal atvaizdžių grupes. Paaiškėjus, kad grupės savybės nepriklauso nuo elementų prigimties, pradėta domėtis savybėmis, priklausančiomis tik nuo grupės operacijos. 19 a. pabaigoje buvo sukurti baigtinių grupių teorijos pagrindai (M. S. Lie; F. G. Frobenius). 20 a. toliau plėtojant baigtinių grupių teoriją sukurtos topologinių grupių ir begalinių grupių teorijos. Baigtinių grupių metodus pradėta taikyti begalinėms grupėms. Apie 1920 pradėtos tirti tokios sistemos, kurių operacijos tenkina tik dalį grupės aksiomų.