integralinė lygtis

integrãlinė lygts, joje nežinomoji funkcija f(x) yra pointegralinės funkcijos dalis. Integralinės lygtys būna tiesinės ir netiesinės. Kai integravimo sritis yra intervalas [a, b], tiesinės integralinės lygtys yra tokių pavidalų: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$K(x, t)f(t)dt = g(x) (pirmosios rūšies), f(x)$-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}$K(x, t)f(t)dt = g(x) (antrosios rūšies); čia g(x) ir K(x, t) – žinomos funkcijos, λ – žinomas kompleksinis skaičius – integralinės lygties parametras. Funkcija K(x, t) vadinama integralinės lygties branduoliu, o g(x) – laisvuoju nariu. Tiesinėse integralinėse lygtyse nežinoma funkcija f(t) pointegralinės funkcijos išraiškoje yra tiesinis dauginamasis. Jei vadinamasis integralinis operatorius $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$K(x, t)f(t)dt yra visiškai tolydus, integralinė lygtis vadinama Fredholmo lygtimi. Jei g(x) tapačiai lygi nuliui, integralinė lygtis vadinama homogenine, priešingu atveju – nehomogenine. Jei Fredholmo lygties branduolys K(x, t) = 0, kai t > x, lygtis f(x)$-\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}$K(x, t)f(t)dt = g(x) vadinama Volterros tiesine integraline lygtimi. Netiesinės integralinės lygtys yra tokio pavidalo: f(x)$-\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}$K(x, t)f^m(t)dt = g(x) (m ≠ l). Jei homogeninė integralinė lygtis turi nenulinį sprendinį, atitinkama parametro λ reikšmė vadinama tikrine. Kompleksinis branduolys K(x, t) vadinamas Hermite’o, jei $\overline{K(x,t)}$ = K(t, x). Kai K – realusis, ši lygybė reiškia simetriškumą: K(x, t) = K(t, x). Analizinę integralinės lygties sprendinio išraišką rasti retai pavyksta, todėl dažniausiai ieškoma sprendinio reikšmių tam tikruose taškuose, po to interpoliuojant apskaičiuojamas apytikslis sprendinys.

Pavienių integralinių lygčių atvejų atsirado 19 a. pirmoje pusėje. Bendra tiesinių integralinių lygčių teorija sukurta 19 a. pabaigoje–20 a. pradžioje. Šios teorijos kūrėjai – V. Volterra, E. I. Fredholmas, D. Hilbertas ir Erhardas Schmidtas (Vokietija).