integralinis logaritmas

integrãlinis logartmas, funkcija, apibrėžiama integralu $\mathrm{li}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$(x > 0, x ≠ 1) arba integralu $\mathrm{Li}x=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$. Kai x > 1, netiesioginis integralas lix diverguoja taške t = 1, todėl imama jo pagrindinė reikšmė: $\mathrm{li}x=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\left(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}\right)$. Kai $x\to \mathrm{\infty }$, lix didėja kaip $\frac{x}{\ln x}$. Integralinis logaritmas svarbus skaičių teorijoje: pirminių skaičių, ne didesnių už x, kiekis π(x) apytiksliai lygus Lix. Integralinis logaritmas – transcendenčioji funkcija, ją 1768 sukūrė L. Euleris. 1808 C. F. Gaussas suformulavo hipotezę, kad π(x) ~ Lix. Vėliau P. Čebyšovas (1848), B. Riemannas (1851), G. H. Hardy, Johnas Edensoras Littlewoodas, Edwardas Charlesas Titchmarshas (abu Didžioji Britanija), Nikolajus Čiudakovas, Nikolajus Korobovas (abu Rusija), I. Vinogradovas ir kiti tyrė, kiek π(x) skiriasi nuo Lix. 18 a. buvo suformuluota pirminių skaičių teorema, teigianti, kad funkcijos π(x) ir $\frac{x}{\ln x}$ yra ekvivalenčios, t. y. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\pi }(x)$ : $\frac{x}{\ln x}$. Šią teoremą 1896 įrodė Jacquesas Salomonas Hadamard’as (Prancūzija) ir atskirai nuo jo Charles-Jeanas Étienneʼas de la Vallée-Poussinas (Belgija) taikydami L. Eulerio pasiūlytą kompleksinio kintamojo s Riemanno dzeta funkciją $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _p\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}$; čia n – natūralieji, o p – pirminiai skaičiai.

1668