integralinis skaičiavimas

integrãlinis skaičiãvimas, matematikos sritis, tirianti įvairių integralų (neapibrėžtinio integralo, apibrėžtinio integralo, netiesioginio integralo, dvilypio integralo, trilypio integralo, daugialypio integralo, kreivinių integralų, paviršinio integralo, kompleksinio kintamojo funkcijos integralo) savybes, jų skaičiavimo metodus ir taikymą. Neapibrėžtiniam ir apibrėžtiniam integralui apskaičiuoti taikomi tiesioginio integravimo, įkėlimo už diferencialo ženklo, kintamojo keitimo, integravimo dalimis metodai. Apibrėžtiniam integralui $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ apskaičiuoti, kai žinoma funkcijos f(x) pirmykštė funkcija F(x), dar taikoma Newtono ir Leibnizo formulė $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Kai F(x) rasti sunku arba neįmanoma, apibrėžtiniam integralui apskaičiuoti taikomos apytikslio skaičiavimo formulės (stačiakampių, trapecijų ar parabolių) arba pointegralinės funkcijos f(x) skleidimas laipsnine eilute. Pirmykštės funkcijos F(x) baigtiniu pavidalu negalima gauti, kai integruojamos, pvz., funkcijos $\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}$, $\frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}$, $\frac{1}{(1+h{x}^2)\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}$ (čia 0 < k < 1, h – kompleksinis skaičius), kurių integralai vadinami elipsiniais, integralinis sinusas ir integralinis kosinusas, integralinis logaritmas, binominis diferencialas. Dvilypiai ir trilypiai integralai skaičiuojami juos išreiškiant kartotiniais. Kreiviniai integralai skaičiuojami juos išreiškiant apibrėžtiniais, paviršiniai – dvilypiais integralais. Panaudojus apibrėžtinį integralą tapo įmanoma apskaičiuoti plokščiosios srities plotą, kreivės lanko ilgį (ilgis), erdvinio kūno tūrį, sukimosi paviršiaus plotą, t. p. kreivės ar kūno masių centrą, statinius ir inercijos momentus, kūno kelią, kai žinomas jo greitis, žinomos jėgos atliktą darbą ir panašiai.

Integralinio skaičiavimo pagrindines sąvokas atskirai vienas nuo kito sukūrė I. Newtonas ir G. W. Leibnizas; šis pradėjo vartoti integralo žymėjimą ∫ydx. Integralinio skaičiavimo terminą 1696 pasiūlė J. Bernoulli. Apibrėžtinio integralo terminą pasiūlė P. S. de Laplace’as, jį žymėti $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ 1822 pradėjo J. Fourier, apibrėžimą 1853 pateikė B. Riemannas. Svarbūs J. Bernoulli, L. Eulerio, A.‑L. Cauchy, M. Ostrogradskio, V. Buniakovskio, P. Čebyšovo, B. Riemanno, Th. J. Stieltjeso, H. L. Lebesgue’o darbai.

1668

integralas