interpoliavimas

interpoliãvimas, tiesnis interpoliãvimas, funkcijos f(x) kūrimas (galbūt apytikslis), kai žinomos jos reikšmės arba (ir) išvestinių reikšmės duotuose taškuose. Tarkime, intervale [a, b] duota n + 1 taškų a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_k < … < x_n = b, kurie vadinami interpoliavimo mazgais, ir yra žinomos funkcijos f(x) reikšmės tuose taškuose y_k = f(x_k) (k = 0, 1, 2, …, n). Parinkus funkcijų, apibrėžtų intervale [a, b], klasę K (pvz., algebrinius daugianarius, kurių laipsniai ne didesni už n), joje ieškoma funkcija P(x) vadinama interpoliacine funkcija, kuriai teisingos lygybės: P(x_k) = f(x_k) (k = 0, 1, 2, …, n). Algebrinių daugianarių, kurių laipsniai ne didesni už n, klasėje interpoliavimo uždavinys turi vienintelį sprendinį, kurį galima užrašyti Lagrange’o interpoliacinio daugianario pavidalu: L_n(x) =$\sum _{k=0}^n\frac{(x-x_0)\mathrm{...}(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\mathrm{...}(x-x_n)}{(x_k-x_0)\mathrm{...}(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\mathrm{...}(x_k-x_n)}$f(x_k). Jei funkcija f(x) ∈ Cⁿ⁺¹[a, b] (tolydžiai diferencijuojama n + 1 kartą), interpoliavimo paklaida $R_n(x)=f(x)-L_n(x)$=$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$ω(x); čia $\xi \mathrm{\in }(a,b),\omega (x)=\prod _{i=0}^n(x-x_i)$. Interpoliacinė funkcija gali būti ieškoma pavidalu $P(x)=\sum _{k=0}^n{c}_k{u}_k(x)$; čia u_k(x) yra iš anksto parinkta tiesiškai nepriklausomų funkcijų sistema (pvz., 1, x, x², …, xⁿ arba 1, cosx, cos2x, …, cosnx). Šiuo atveju funkcija P(x) vadinama interpoliaciniu daugianariu pagal funkcijų sistemą u_k(x). Nežinomi koeficientai c_k vienareikšmiškai randami sprendžiant tiesinių lygčių sistemą $\sum _{k=0}^n{c}_k{u}_k(x_j)=y_j(j=0,1,2,\mathrm{...},n)$. Jei papildomai žinomos funkcijos f(x) išvestinių reikšmės kuriame nors mazge x_j, t. y. f(x_j), f′(x_j), f″(x_j), …, f^(k)(x_j), galima laikyti, kad x_j yra k + 1 eilės kartotinis interpoliavimo mazgas.

Jei interpoliuojamų funkcijų klasė K sutampa su C^m–k[a, b] (1 ≤ k ≤ m + 1) ir kiekviename intervale [x_j, x_j+1] (j = 0, 1, 2, …, n – 1) šios funkcijos yra m eilės daugianariai, tai tokia interpoliacinė funkcija S_m, k(x) vadinama m eilės splainu, kurio defektas lygus k. Praktikoje dažniausiai naudojami kubiniai splainai, kurių defektas lygus 1: S₃(x) = S_3, 1(x). Norint surasti kubinį splainą reikalingos dvi papildomos sąlygos. Dažniausiai formuluojamos natūraliosios kraštinės sąlygos: $S_3^{\text{'}\text{'}}(a)=S_3^{\text{'}\text{'}}(b)=0$. Šiuo atveju kubinis splainas randamas vienareikšmiškai.

1566