išvestinė

išvestnė, vieno kintamojo tolydžiosios funkcijos y = f(x), apibrėžtos intervale (a, b), išvestine taške x ∈ (a, b) vadinama baigtinė riba $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\text{'}}(x)$; čia Δx – nepriklausomojo kintamojo x pokytis, Δy – funkcijos pokytis: Δy = f(x + Δx) – f(x). Išvestinės geometrinė prasmė nusakoma taip: f′(x₀) yra kreivės y = f(x) liestinės, nubrėžtos per lietimosi tašką M₀(x₀, f(x₀)), krypties koeficientas. Jei liestinė su Ox ašimi sudaro kampą α, tai f′(x₀) = tanα. Išvestinės mechaninė prasmė nusakoma taip: jei funkcija S = f(t) yra tiese judančio kūno kelio S priklausomybė nuo laiko t, tai f′(t) yra to kūno judėjimo greitis momentu t. Pvz., laisvai krintančio kūno kelio funkcijos $S=\frac{g{t}^2}{2}$ išvestinė taške t = t₁ yra jo greitis gt₁ momentu t₁. Jei funkcija taške turi išvestinę, ji šiame taške yra tolydžioji, bet jei funkcija taške yra tolydžioji, ji nebūtinai šiame taške turi išvestinę. Funkcijos y = f(x) išvestinė dažnai užrašoma diferencialų santykiu: $y^{\text{'}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. Taikant funkcijos y = f(x) pirmąją išvestinę galima nustatyti funkcijos monotoniškumą ir ekstremumą. Funkcijos y = f(x) antroji išvestinė apibrėžiama kaip pirmosios išvestinės išvestinė. Taikant funkcijos antrąją išvestinę y″ = f″(x) galima nustatyti funkcijos įgaubtumą ar iškilumą, perlinkio taškus. Elementariųjų funkcijų išvestinės pateiktos lentelėje. Išvestinės skaičiuojamos pagal tam tikras taisykles. Pvz., sudėtinės funkcijos y = f(g(x)) išvestinė, kai y = f(u), o u = g(x), apskaičiuojama pagal formulę: y′ = f′(u)·g′(x) arba $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$; neišreikštinės funkcijos f(x, y) = 0 išvestinė apskaičiuojama diferencijuojant abi šios lygybės puses; funkcijos, apibrėžtos parametrinėmis lygtimis x = x(t), y = y(t), išvestinė apskaičiuojama pagal formulę: $y_x^{\text{'}}=\frac{y_t^{\text{'}}}{x_t^{\text{'}}}$. Kelių kintamųjų tolydžiosios funkcijos f(x₁, x₂, …, x_n) išvestinė, apskaičiuota argumentą x_j laikant kintamu, o kitus argumentus – pastoviais, vadinama šios funkcijos daline išvestine kintamojo x_j atžvilgiu. Trijų kintamųjų funkcijos u(x, y, z) dalinės išvestinės $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$, $\frac{\partial u}{\partial z}$ apibūdina funkcijos kitimo greitį Descartes’o koordinačių ašių kryptimis. Nagrinėjant įvairius procesus dažnai reikia nustatyti funkcijos kitimo greitį ir kitomis kryptimis, pvz., sprendžiant Neumanno kraštinį uždavinį, kraštinės sąlygos reiškiamos paviršiaus normalės kryptimi, statmena paviršiaus liečiamajai plokštumai lietimosi taške; šilumos sklidimo greičiui kuriame nors kūne nustatyti svarbios ne tik koordinačių ašių, bet ir kitos kryptys (tada ieškoma funkcijos, aprašančios temperatūros pasiskirstymą, išvestinę norima kryptimi). Jei kryptį apibrėžia vektorius l, sudarantis su Ox ašimi kampą α, su Oy – kampą β, su Oz – kampą γ, tai funkcijos u(x, y, z) kryptinės išvestinės šia kryptimi išraiška yra tokia: $\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}\cos \gamma$. Taikant antrosios eilės dalines išvestines galima nustatyti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumus. Sudaromos ir sprendžiamos diferencialinės lygtys, jų sistemos, kuriose yra ir paprastųjų, ir dalinių išvestinių. Išvestinės t. p. taikomos apytiksliai sprendžiant lygtis f(x) = 0 (Newtono metodas), skleidžiant funkcijas laipsninėmis eilutėmis. Matematinės analizės dalis, kurioje nagrinėjamos išvestinės, funkcijų diferencijavimas ir diferencijuojamųjų funkcijų savybės, išvestinių taikymas, vadinama diferencialiniu skaičiavimu.

1668

3034