įvertis

vertis, imties X = (X₁, …, X_n) funkcija, naudojama nežinomiems tikimybinio skirstinio parametrams vertinti. Tarkime, kad tikimybinis skirstinys priklauso šeimai $\mathscr{P}$ = {P_θ, θ ∈ Θ ⊂ R^k}, o parametras θ = (θ₁, …, θ_k). Jei parametras g = ψ(θ) yra vektorinė funkcija ψ(θ) = (ψ₁(θ), …, ψ_s(θ)), tai bet kuri mačioji atsitiktinės imties X = (X₁, …, X_n) funkcija $\hat{g_{n}} = \hat{g_{n}} (X)$ vadinama parametro g (taškiniu) įverčiu. Dažniausiai ieškomi tokie įverčiai, kurių reikšmės tam tikra prasme artimos tikrajai parametro g reikšmei. Jei g yra vienmatis, tai įverčio $\hat{g_{n}}$ reikšmių sklaidai apie parametrą g apibūdinti dažniausiai naudojama kvadratinė rizikos funkcija $R_{θ} (\hat{g_{n}}, g)$ , kuri yra atsitiktinių dydžių ${(\hat{g_{n}} - g)}^{2}$ vidurkis, t. y. $R_{θ} (\hat{g_{n}}, g) = E_{θ} {(\hat{g_{n}} - g)}^{2} = D_{θ} (\hat{g_{n}}) + {(E_{θ} (\hat{g_{n}}) - g)}^{2}$ ; čia $D_{θ} (\hat{g_{n}})$ yra įverčio $\hat{g_{n}} = \hat{g}$ dispersija. Visų įverčių aibėje dažniausiai neegzistuoja įvertis, minimizuojantis kvadratinę rizikos funkciją su visomis galimomis parametro reikšmėmis, todėl apsiribojama siauresnėmis įverčių klasėmis, t. y. įverčiais, pasižyminčiais tam tikromis savybėmis. Parametro g įvertis $\hat{g_{n}} = \hat{g}$ vadinamas nepaslinktuoju, jei su visais θ ∈ Θ įverčio vidurkis lygus parametrui $E_{θ} (\hat{g}) = g$ . Nepaslinktųjų įverčių klasėje kvadratinė rizikos funkcija lygi to įverčio dispersijai. Parametro g nepaslinktasis įvertis $\hat{g}$ vadinamas nepaslinktuoju minimalios dispersijos įverčiu, jei su visais θ ∈ Θ dispersija $D_{θ} (\hat{g})$ minimali visų nepaslinktųjų įverčių klasėje. Reguliariųjų skirstinių atveju apatinę nepaslinktųjų įverčių dispersijos ribą (ne visada pasiekiamą) nusako Rao ir Craméro nelygybė. Nepaslinktasis įvertis vadinamas efektyviuoju, jei jo dispersija pasiekia apatinę šios nelygybės ribą. Jis egzistuoja tiktai rodiklinių skirstinių šeimose. Galimos situacijos, kai egzistuoja paslinktieji įverčiai, kurių kvadratinė rizikos funkcija mažesnė už minimalios dispersijos nepaslinktojo įverčio kvadratinę rizikos funkciją, pvz., taip būna vertinant mastelio ar poslinkio parametrą. Tada nagrinėjamos kitos, pvz., ekvivariantinių įverčių klasės. T. p. galimos situacijos, kai nepaslinktieji įverčiai neegzistuoja, pvz., parametrui g = 1/λ, kai λ yra Poissono skirstinio vidurkis. Be nepaslinktumo, kita pageidautina įverčio savybė yra reikšmių vis didesnis koncentravimasis apie tikrąją parametro reikšmę, kai imties didumas neaprėžtai didėja. Parametro g taškinių įverčių seka ${\hat{g_{n}}}$ vadinama pagrįstąja, jei su visais ε > 0 ir θ ∈ Θ $P_{θ} (| \hat{g_{n}} - g (θ) | ⩾ ε) \to 0$ , kai n → ∞, t. y. kokia bebūtų tikroji parametro g reikšmė, tikimybė įverčiui įgyti reikšmę, nutolusią nuo g daugiau kaip per kiek norima mažą ε, artėja prie nulio. Pvz., įverčių seka $\hat{g_{n}} = 1 / \bar{X_{n}}$ yra pagrįstoji Poissono skirstinio parametrui g = 1/λ; čia $\bar{X_{n}}$ – empirinis vidurkis. Dažniausiai pagrįstieji įverčiai yra asimptotiškai normalūs, t. y. atsitiktinis dydis $\sqrt{n} (\hat{g_{n}} - g)$ artėja pagal pasiskirstymą į normalųjį dėsnį su nuliniu vidurkiu ir dispersija σ²(θ) > 0. Parametro g = g(θ) įverčių seka $\hat{g_{n}}$ vadinama asimptotiškai optimalia, jei ribinė dispersija σ²(θ) minimali visų asimptotiškai normalių įverčių klasėje. Pavyzdžiui, Poissono skirstinio atveju $\hat{g_{n}} = 1 / \bar{X_{n}}$ yra asimptotiškai optimalus parametro g = 1/λ įvertis: $\sqrt{n} (\hat{g_{n}} - g)$ artėja pagal pasiskirstymą į normalųjį dėsnį su nuliniu vidurkiu ir dispersija 1/λ³, kuri minimali asimptotiškai normalių įverčių klasėje. Minimaliosios kvadratinės rizikos, nepaslinktojo, minimaliosios dispersijos, efektyvaus, pagrįstojo, asimptotiškai optimalaus įverčių sąvokos apibendrinamos daugiamačio parametro atvejui. Taškiniai įverčiai ieškomi momentų, mažiausiųjų kvadratų, didžiausiojo tikėtinumo metodais. Esant pakankamai bendroms sąlygoms didžiausiojo tikėtinumo įverčiai yra pagrįsti ir asimptotiškai optimalūs. Svarbūs parametrų intervaliniai įverčiai vadinami pasikliautinaisiais intervalais.

1024

Autorius (-iai)
Redaktorius (-iai)
Publikuota
Redaguota

	Funkciniai slapukai (būtini) Šie slapukai yra būtini, kad veiktų svetainė, ir negali būti išjungti. Šie slapukai nesaugo jokių duomenų, pagal kuriuos būtų galima jus asmeniškai atpažinti, ir yra ištrinami išėjus iš svetainės.
	Našumo slapukai Šie slapukai leidžia apskaičiuoti, kaip dažnai lankomasi svetainėje, ir nustatyti duomenų srauto šaltinius – tik turėdami tokią informaciją galėsime patobulinti svetainės veikimą. Jie padeda mums atskirti, kurie puslapiai yra populiariausi, ir matyti, kaip vartotojai naudojasi svetaine. Tam mes naudojamės „Google Analytics“ statistikos sistema. Surinktos informacijos neplatiname. Surinkta informacija yra visiškai anonimiška ir tiesiogiai jūsų neidentifikuoja.
	Reklaminiai slapukai Šie slapukai yra naudojami trečiųjų šalių, kad būtų galima pateikti reklamą, atitinkančią jūsų poreikius. Mes naudojame slapukus, kurie padeda rinkti informaciją apie jūsų veiksmus internete ir leidžia sužinoti, kuo jūs domitės, taigi galime pateikti tik Jus dominančią reklamą. Jeigu nesutinkate, kad jums rodytume reklamą, palikite šį langelį nepažymėtą.