kartogrãfinės projèkcijos, matematiniai būdai, kuriais Žemės elipsoido paviršius arba jo dalis vaizduojama plokštumoje (žemėlapyje). Prieš sudarant 1:M mastelio žemėlapį, Žemės elipsoidas sumažinamas M kartų – sudaromas įsivaizduojamasis geometrinis Žemės modelis (idealusis gaublys), kuris projektuojamas į plokštumą. Žemės elipsoido paplokštumas yra mažas, todėl kartografinių projekcijų teorijoje elipsoidinis gaublys dažnai pakeičiamas jam artimu rutuliniu; paklaidų, kurių dėl to susidaro, arba nepaisoma, arba į jas atsižvelgiama projekcijos skaičiavimo formulėse. Kadangi rutulio paviršiaus negalima iškloti plokštumoje be plyšių ar raukšlių, tai bet koks gaublio paviršiaus vaizdas plokštumoje yra iškraipytas. Kiekvieną kartografinę projekciją atitinka tam tikra analizinė priklausomybė tarp gaublio taškų geografinių koordinačių ir tų pačių taškų vaizdo plokštumoje koordinačių. Ši priklausomybė reiškiama lygtimis:
x = f1 (ϕ, λ)
y = f2 (ϕ, λ);
čia ϕ yra geografinė platuma, λ – geografinė ilguma, x ir y – projekcijos plokštumos stačiakampės koordinatės, f1 ir f2 – funkcijos, tenkinančios tam tikras sąlygas. Galimų funkcinių priklausomybių ir galimų projekcijų skaičius yra neribotas, tereikia, kad kiekvieną rutulio tašką, kurį nusako geografinė platuma ϕ ir geografinė ilguma λ, plokštumoje atitiktų taškas x, y ir kad vaizdas būtų ištisinis.
Plokštumoje ištisinį vaizdą galima gauti tik netolygiai ištempus arba suglaudus rutulio paviršių, todėl plokščio vaizdo mastelis negali būti pastovus; jis kinta priklausomai nuo taško padėties ir gali būti skirtingas viename taške įvairiomis kryptimis. Gaublio mastelis 1:Μ vadinamas pagrindiniu; žemėlapio mastelis yra jam lygus tik tam tikrose vietose (taškuose, linijose). Mastelis 1:µ bet kuriame kitame žemėlapio taške vadinamas daliniu. Gaublio paviršiaus linijų ilgiai, figūrų plotai ir kampų dydžiai žemėlapyje yra iškraipyti; tų iškraipymų dydis ir pobūdis priklauso nuo pasirinktos kartografinės projekcijos. Apie iškraipymų pobūdį sprendžiama iš to, kokios formos yra plokštumoje (žemėlapyje) atvaizduojami be galo maži apskritimai, esantys įvairiuose rutulio paviršiaus taškuose. Tokio rutulio paviršiaus apskritimo vaizdas plokštumoje yra elipsė, vadinama iškraipymų elipse. Ilgių iškraipymą apibūdina dalinio ir pagrindinio mastelio vardiklių santykis µ/Μ (arba šio santykio ir vieneto skirtumas). Ploto iškraipymas yra iškraipymų elipsės ploto ir gaublio paviršiuje esančio atitinkamo be galo mažo apskritimo ploto santykis (arba to santykio ir vieneto skirtumas). Kampo iškraipymas – dviejų gaublio paviršiaus linijų sudaromo kampo ir to paties kampo žemėlapyje dydžių skirtumas. Visos kartografinės projekcijos iškraipo ilgius; kai kurios jų neiškraipo plotų arba kampų.
Pagal iškraipymų pobūdį kartografinės projekcijos skirstomos į lygiakampes (konformines), lygiaplotes (ekvivalentines), lygiatarpes ir sąlygines. Lygiakampės kartografinės projekcijos neiškraipo figūrų kampų; kiekviename jų vaizdo taške mastelis vienodas visomis kryptimis (iškraipymų elipsė visur yra apskritimas), bet kiekviename taške mastelis kitoks. Lygiaplotės kartografinės projekcijos neiškraipo figūrų plotų (visos iškraipymų elipsės yra skirtingai ištemptos, bet vienodo ploto), bet jas smarkiai deformuoja. Lygiatarpės kartografinės projekcijos (dar vadinamos laisvosiomis) neiškraipo dienovidinių arba lygiagrečių ilgių; visuose žemėlapio taškuose viena kryptimi (pvz., pagal dienovidinius) mastelis yra vienodas, lygus pagrindiniam. Sąlyginės kartografinės projekcijos iškraipo visus vaizdo elementus, bet plotus iškraipo mažiau negu lygiakampės kartografinės projekcijos, o kampus – mažiau negu lygiaplotės.
kartografinės projekcijos: a – Mercatoriaus (lygiakampė; L – loksodroma, O – ortodroma; raudona spalva parodytos iškraipymų elipsės), b – M. Solovjovo skersinė perspektyvinė cilindrinė, c – Mollweidės (lygiaplotė; dienovidiniai elipsės)
azimutinės kartografinės projekcijos: a – skersinė stereografinė (lygiakampė), b – įstrižinė (lygiaplotė), c – normalinė (lygiatarpė)
Kai projekcijos plokštuma liečia gaublio ašigalį, kartografinė projekcija vadinama normaline, kai lietimosi taškas yra rutulio pusiaujyje – skersine, kai plokštuma liečia rutulį tarp ašigalio ir pusiaujo – įstrižine.
Pagal projektavimo būdą (jei projektuojama į pagalbinius geometrinius paviršius) ir kartografinio tinklo pavidalą normalinės kartografinės projekcijos skirstomos į azimutines, cilindrines (ritinines) ir kūgines (konusines).
Azimutinės kartografinės projekcijos gaunamos projektuojant gaublį į liečiamąją ar kertamąją plokštumą. Kartografinio tinklo dienovidiniai yra susikertančios tiesės, tarp kurių kampai yra lygūs kampams tarp dienovidinių gaublyje, o lygiagretės – koncentriški apskritimai; dienovidinių susikirtimo taškas yra apskritimų centras ir ašigalio vaizdas. Iš azimutinių kartografinių projekcijų išskiriamos perspektyvinės projekcijos. Jos gaunamos projektuojant gaublio paviršių į plokštumą spinduliais iš projekcijos centro, esančio tiesėje, kuri eina per gaublio centrą ir yra statmena liečiamajai plokštumai. Perspektyvinės kartografinės projekcijos skirstomos į ortografines (projektavimo centras nutolęs į begalybę ir projektuojama lygiagrečių spindulių pluoštu), stereografines (projektavimo centras yra gaublio paviršiuje ir visiškai priešingas vaizdo plokštumos lietimosi taškui) ir centrines, arba gnomonines (projektavimo centras yra gaublio centre). Projektuojant į cilindro šoninį paviršių, kuris liečia arba kerta rutulį, gaunamos cilindrinės kartografinės projekcijos, o projektuojant į tokį pat kūgio paviršių – kūginės kartografinės projekcijos. Jos vadinamos normalinėmis, kai cilindro arba kūgio paviršiaus ašis sutampa su gaublio ašimi, skersinėmis – kai ašis yra pusiaujo plokštumoje, ir įstrižinėmis – kai ašis su gaublio ašimi sudaro smailųjį kampą. Normalinės projekcijos naudojamos dažniausiai. Normalinės cilindrinės projekcijos dienovidiniai yra lygiagrečios tiesės, o lygiagretės – lygiagrečios atkarpos, statmenos dienovidiniams; lygiagrečių ilgis (kai cilindro paviršius liečia gaublį) yra lygus gaublio pusiaujo ilgiui. Normalinės kūginės projekcijos dienovidiniai yra susikertančios tiesės, kurių kampai mažesni už gaublio dienovidinių kampus, o lygiagretės – koncentriškų apskritimų lankai; tiesių sankryža sutampa su apskritimų centru ir ne visada vaizduoja ašigalį (ašigalio vaizdas gali būti apskritimo lankas).
Yra ir laisvųjų kartografinių projekcijų, kurių negalima sudaryti perspektyviniu projektavimu; jos sudaromos analiziškai (skaitiniais metodais), taip pasirinkus funkcijas f1 ir f2, kad jos atitiktų norimas pradines sąlygas. Kai kuriems žemėlapiams sudaryti naudojamos kartografinės projekcijos, kurių normalūs tinklai beveik arba visai nepanašūs į minėtų kartografinių projekcijų tinklus. Pvz., pseudocilindrinių kartografinių projekcijų lygiagretės yra lygiagrečios tiesės, o dienovidiniai – simetriškos kreivės abipus tiesaus vidurinio dienovidinio; pseudokūginių kartografinių projekcijų lygiagretės – koncentriškų apskritimų lankai, dienovidiniai – simetriškos kreivės abipus tiesaus vidurinio dienovidinio; daugiakūgių (polikonusinių) kartografinių projekcijų lygiagretės – ekscentriškų apskritimų lankai su centrais viduriniame tiesiame dienovidinyje, o dienovidiniai – simetriškos kreivės abipus to dienovidinio.
kūginės kartografinės projekcijos: a – lygiakampė, b – lygiaplotė, c – lygiatarpė. Raudona spalva parodytos iškraipymų elipsės
Kartografinių projekcijų pasirinkimą lemia sudaromo žemėlapio paskirtis, turinys, mastelis. Pvz., pasaulio šalių smulkaus mastelio žemėlapiams imamos lygiakampė ir lygiatarpė kūginės projekcijos; žemynų žemėlapiams – lygiaplotės įstrižinės (Afrikai – skersinė); vandenynų žemėlapiams – lygiaplotės, kartais laisvosios pseudocilindrinės, laisvosios daugiakūgės; pusrutulių žemėlapiams: Šiaurės ir Pietų pusrutuliui – lygiatarpė azimutinė, Vakarų ir Rytų pusrutuliui – lygiaplotė skersinė azimutinė; pasaulio žemėlapiams – laisvosios daugiakūgės, pseudocilindrinės ir cilindrinės, kartais – Mercatoriaus projekcija (visos loksodromos vaizduojamos tiesėmis, sudarančiomis su dienovidiniais vienodus kampus). Stambaus mastelio (daugiau kaip 1:500 000) topografiniams žemėlapiams naudojama lygiakampė skersinė cilindrinė Gausso ir Krügerio projekcija.
Seniausia kartografinė projekcija yra centrinė projekcija, kurią panaudojo Talis Miletietis žvaigždėlapiams. 3 a. pr. Kr., nustačius, kad Žemė yra apvali, imta kurti kartografines projekcijas žemėlapiams sudaryti. Graikų mokslininkai (Hiparchas, Klaudijas Ptolemajas) gaublio geografinį tinklą projektuodavo į šoninį cilindro paviršių, liečiantį gaublio 30° arba 45° lygiagretę. Ptolemajas savo pasaulio žemėlapiui nubrėžė pseudokūginį kartografinį tinklą. 16 a. G. Mercatorius sukūrė lygiakampę cilindrinę projekciją (ji iki šiol tebenaudojama jūreivystės žemėlapiams). 17–18 a. kartografinės projekcijos tapo topografinių žemėlapių pagrindu; naujų kartografinių projekcijų sukūrė G. D. Cassini (Prancūzija), L. Euleris (Šveicarija), J. L. de Lagrange’as (Prancūzija), J. H. Lambertas (Vokietija). 19 a. C. F. Gaussas (Vokietija) išanalizavo vieno paviršiaus projektavimą į kitą, reikšdamas paviršių lygtis parametrinėmis formomis. 19 a. antroje pusėje S.‑A. Tissot (Šveicarija) sukūrė kartografinio vaizdo iškraipymo teoriją. Iki dabartinių laikų sukurta daugybė kartografinių projekcijų.
L: V. Chomskis Kartografija Vilnius 1979; K. Švedas Kartografinės projekcijos Vilnius 1989.