kompleksinio kintamojo funkcijos integralas

integralinės sumos skaičiavimas

komplèksinio kiñtamojo fùnkcijos integrãlas, integralinės sumos $\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\cdot ∆z_k$ glodžia paprastąja kreive L riba. Integralinės sumos dėmenys gaunami kreivę L = ab taškuose a = z₀, z₁, z₂, …, z_k–1, z_k, …, z_n–1, z_n = b padalijus į n dalių, kiekvienoje dalyje z_k–1z_k laisvai parinkus tašką ζ_k (k = 1, 2, 3, …, n), apskaičiavus kompleksinio kintamojo z = x + iy tolydžiosios funkcijos f(z) = u(x, y)+ i·v(x, y) reikšmę f(ζ_k) ir padauginus iš Δz_k = z_k – z_k–1. Integralas žymimas $\underset{L}{\int }f(z)\mathrm{d}z$ ir reiškiamas dviem kreiviniais integralais: $\underset{L}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{L}{\int }(u+\mathrm{i}v)\mathrm{d}(x+\mathrm{i}y)=\underset{L}{\int }(u+\mathrm{i}v)(\mathrm{d}x+\mathrm{id}y)=\underset{L}{\int }u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+\mathrm{i}\underset{L}{\int }v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y$. Integralo savybės: $\underset{\mathit{ab}}{\int }f(z)\mathrm{d}z=-\underset{\mathit{ba}}{\int }f(z)\mathrm{d}z$, t. y. pakeitus kreivės orientaciją keičiasi integralo ženklas; $\underset{\mathit{ab}}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\underset{\mathit{ac}}{\int }f(z)\mathrm{d}z+\underset{\mathit{cb}}{\int }f(z)\mathrm{d}z$ (integralo adityvumo savybė), $\underset{L}{\int }({\lambda }_1{f}_1(z)+{\lambda }_2{f}_2(z))\mathrm{d}z={\lambda }_1\underset{L}{\int }{f}_1(z)\mathrm{d}z+{\lambda }_2\underset{L}{\int }{f}_2(z)\mathrm{d}z$; čia λ₁, λ₂ – bet kurie kompleksiniai skaičiai, jei $M=\underset{z\in L}{\max }|f(z)|$, tai ; čia l – kreivės L ilgis (integralo įvertinimo teorema).

Jei kreivės L pradinis ir galinis taškas a ir b sutampa, gaunamas integralas uždaruoju kontūru. Jis žymimas $\oint f(z)\mathrm{d}z$. Kai funkcija f(z) yra analizinė srityje D, kurią riboja uždaroji kreivė L, tai $\underset{L}{\oint }f(z)\mathrm{d}z=0$, kai funkcija f(z) yra analizinė srityje D, išskyrus baigtinį skaičių ypatingųjų taškų z₁, z₂, …, z_n, f(z) yra analizinė kreivės L taškuose, tai $\underset{L}{\oint }f(z)\mathrm{d}z=2\mathrm{\pi }\mathrm{i}\cdot \sum _{j=1}^n\underset{z=z_j}{\mathrm{Res}}f(z)$; čia $\underset{z=z_j}{\mathrm{Res}}f(z)$ – funkcijos f(z) reziduumas srities D taške z_j.

1668