konvergavimas

konvergãvimas (lot. convergo – suartėju), skaičių, funkcijų ar kitų matematinių objektų sekos ribos egzistavimas. Skaičių seka (x_n) vadinama konverguojančiąja, kai šios sekos riba yra skaičius: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$. Tada nelygybės |x_n – a| < ε su bet kuriuo teigiamu ε netenkina tik baigtinis sekos narių skaičius. Tiriant skaičių sekos konvergavimą remiamasi įvairiais sekų konvergavimo požymiais, pvz., monotoniškai didėjanti ir aprėžta iš viršaus seka $x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ konverguoja. Šį faktą 1728 nustatė D. Bernoulli, o šios sekos ribą raide e pažymėjo L. Euleris. Fundamentalioji seka yra konverguojanti. Skaičių eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ vadinama konverguojančiąja, kai šios eilutės dalinių sumų seka $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ yra konverguojanti. Netiesioginiai integralai vadinami konverguojančiaisiais, kai atitinkamos ribos yra skaičiai. Pvz., intervale (a, +∞) tolydžios funkcijos netiesioginis integralas $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$f(x)dx = $\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}$f(x)dx vadinamas konverguojančiuoju, kai nurodyta apibrėžtinio integralo riba yra skaičius. Skaičių eilutės ir netiesioginiai integralai gali konverguoti absoliučiai arba reliatyviai (absoliutusis konvergavimas, reliatyvusis konvergavimas). Funkcijų seka f_n(x) vadinama konverguojančia taške x₀, kai skaičių seka f_n(x₀) yra konverguojančioji, t. y. kai egzistuoja baigtinė riba $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x_0)$. Taškas x₀ vadinamas funkcijų sekos konvergavimo tašku. Visi sekos f_n(x) konvergavimo taškai sudaro jos konvergavimo sritį. Funkcijų eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ vadinama konverguojančiąja, kai šios eilutės dalinių sumų seka $f_n(x)=\sum _{k=1}^n{u}_k(x)$ yra konverguojanti. Laipsninės eilutės $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ konvergavimo sritis yra intervalas (–R, R). R vadinamas konvergavimo spinduliu. Jis gali būti 0, teigiamasis skaičius arba ∞. Konvergavimo baigtinio intervalo galuose – R ir R laipsninė eilutė gali konverguoti arba diverguoti. Funkcijų seka f_n(x) vadinama konverguojančia tolygiai į funkciją f(x) aibėje D, kai \(\lim\limits_{n \to \infty } \underset{x \in D}{\mathrm{sup}} \left | f_n(x) - f(x) \right |\) = 0. Funkcijų eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ vadinama konverguojančia tolygiai aibėje D, kai šioje aibėje konverguoja tolygiai dalinių sumų seka. Vartojamas Weierstrasso tolygaus konvergavimo požymis: jei kiekvienam eilutės nariui u_n(x) intervale [a, b] teisinga nelygybė |u_n(x)| ≤ c_n bet kuriam x∈[a, b] ir skaičių eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ konverguoja, tai funkcijų eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ konverguoja tolygiai intervale [a, b]. Teisinga tokia Cauchy teorema: jei visi funkcijų eilutės nariai u_n(x) yra tolydžiosios intervale [a, b] funkcijos ir eilutė $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ jame konverguoja tolygiai, tai šios eilutės suma yra tolydžioji intervale [a, b] funkcija. Tokias funkcijų eilutes galima integruoti ir diferencijuoti panariui. Vartojamas ir funkcijų sekos f_n(x) vidutinis kvadratinis konvergavimas, arba konvergavimas pagal vidurkį į funkciją f(x) intervale (a, b), apibrėžiamas lygybe $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f_n(x)-f{(x)}^2)$²dx = 0. Yra ir kitokių konvergavimo rūšių, pvz., konvergavimas beveik visur, konvergavimas pagal matą. Tikimybių teorijoje tiriant atsitiktinių dydžių sekas X_n, pvz., vartojamas konvergavimas pagal tikimybę: seka X_n vadinama konverguojančia pagal tikimybę į atsitiktinį dydį X, kai n→∞, jei su visais ε > 0 teisinga lygybė $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P\left(\left|X_n-X\right|\ge \epsilon \right)=0$.