kraštinis uždavinys

kraštnis uždavinỹs, matematikos uždavinys, kuriame tarp apibrėžtųjų tam tikroje srityje funkcijų ieškoma funkcija, tenkinanti konkrečias kraštines sąlygas. Dažniausiai tiriami diferencialinių lygčių kraštiniai uždaviniai. Paprastosioms diferencialinėms lygtims kraštinis uždavinys formuluojamas taip: intervale [a, b] reikia rasti diferencialinės lygties l(x) = f(t) sprendinį, tenkinantį kraštines sąlygas $\sum _{j=1}^n(a_{\mathit{ij}}{x}^{(j-1)}(a)+b_{\mathit{ij}}{x}^{(j-1)}(b))=c_i$, i = 1, 2, …, n; čia l(x) = $\sum _{k=0}^n{a}_k(t)x^{(n-k)}$ yra diferencialinis operatorius. Kai f(t) ir c_i lygūs nuliui, kraštinis uždavinys vadinamas homogeniniu, priešingu atveju – nehomogeniniu. Kai homogeninis uždavinys turi tik nulinį sprendinį, nehomogeninis uždavinys išsprendžiamas, kai f(t) yra bet kuri tolydžioji funkcija. Šio uždavinio sprendinys užrašomas formule: $x(t)=x_0(t)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}$G(t, s)f(s)ds; čia x₀(t) yra homogeninės lygties l(x) = 0 sprendinys, tenkinantis nenulines kraštines sąlygas, funkcija G(t, s), vadinama Greeno funkcija, yra homogeninės lygties sprendinys, tenkinantis nulines kraštines sąlygas ir turintis trūkią (n – 1) eilės išvestinę, integralas $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$(t, s)f(s)ds – nehomogeninės lygties sprendinys, tenkinantis nulines kraštines sąlygas. Kiekvienam kraštiniam uždaviniui apibrėžiamas jungtinis kraštinis uždavinys pritaikius Lagrange’o formulę, gaunamą padauginus operatorių l(x) iš funkcijos y(t) ir integruojant dalimis integralą $\underset{a}{\overset{b}{\int }}l(x(t))y(t)$dt. Homogeninis ir jungtinis kraštinius uždavinius turi tiek pat tiesiškai nepriklausomų nenulinių sprendinių. Nehomogeninis kraštinis uždavinys išsprendžiamas tik tuomet, kai f(t) ortogonali visiems homogeninio jungtinio kraštiniams uždaviniams sprendiniams, t. y. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$f(t)y(t)dt = 0. Svarbus Stormo ir Liouville’io kraštinis uždavinys, kuriame ieškomas lygties l(x) = λx sprendinys, tenkinantis nulines kraštines sąlygas. Tos λ reikšmės, kurioms egzistuoja nenulinis sprendinys, vadinamos tikrinėmis reikšmėmis, sprendinys – tikrine funkcija. Kraštiniai uždaviniai formuluojami ir dalinių išvestinių diferencialinėms lygtims: rasti lygties L(u) = f sprendinį (L(u) – elipsinis operatorius), tenkinantį įvairias kraštines sąlygas ant srities kontūro Γ. Jei kraštinė sąlyga yra u|_Γ = ϕ, kraštinis uždavinys vadinamas Dirichlet uždaviniu, jei kraštinės sąlygos \(\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\Gamma} =\varphi\), – Neumanno uždaviniu, jei \(\left.\left ( au + \beta \frac{\partial u}{\partial n} \right )\right|_{\Gamma} =\varphi\), – mišriuoju uždaviniu, jei \(\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{\Gamma} =\varphi\), uždaviniu su pasvirąja išvestine. Kai f = ϕ = 0, uždavinys vadinamas homogeniniu. Jei homogeninis uždavinys turi tik nulinį sprendinį, nehomogeninis išsprendžiamas vienareikšmiškai. Jei homogeninis uždavinys turi m tiesiškai nepriklausomų sprendinių, nehomogeninis išsprendžiamas tik tada, kai f tenkina k ortogonalumo sąlygas. Kai m ≠ k, kraštinis uždavinys vadinamas Noether kraštiniu uždaviniu, kai m = k, – Fredholmo kraštiniu uždaviniu. Jei L(u) – parabolinis ar hiperbolinis operatorius, dar nagrinėjamos pradinės sąlygos. Sklindant bangoms skirtingose terpėse sklidimas dažnai nusakomas skirtingais diferencialiniais operatoriais (pvz., vienoje terpėje operatorius yra hiperbolinis, kitoje – elipsinis) ir ant skiriamojo paviršiaus formuluojamos suderinamumo sąlygos. Kai lygtys išsigimsta, klasikiniai kraštiniai uždaviniai dažniausiai neišsprendžiami. Tokiais atvejais formuluojami modifikuoti kraštiniai uždaviniai, kai išsigimusiame paviršiuje netaikomos jokios sąlygos, arba reikalaujama, kad sprendinys į tą paviršių artėtų tam tikru fiksuotu greičiu – augimo eile. Hidrodinamikoje naudojami skysčių tekėjimų nevisiškai užpildytame kanale arba vamzdyje matematiniai modeliai – sprendžiamas laisvojo paviršiaus kraštinis uždavinys, kraštinės sąlygos nusakomos tik sienelių paviršiuje. Laisvasis paviršius (skysčio paviršius) nustatomas iš papildomų sąlygų atsižvelgiant į įvairias tarpusavyje veikiančias jėgas.

3034