kreivė

kreiv, įvairiose matematikos šakose apibrėžiama įvairiai; tai priklauso nuo nagrinėjimo tikslų ir metodų. Elementarioji geometrija nagrinėja tiesę, atkarpą, laužtę, apskritimą ir kitas kreives, kurių kiekviena apibrėžiama atskirai. Daug tokių pat kreivių nagrinėja ir analizinė geometrija. Joje plokščiąja kreive vadinama aibė plokštumos taškų, kurių afiniosios koordinatės x, y tenkina lygtį F(x, y) = 0, erdvine kreive – aibė erdvės taškų, kurių afiniosios koordinatės x, y, z tenkina dvi lygtis F₁(x, y, z) = 0 ir F₂(x, y, z) = 0. Kreivė, kurią galima išreikšti algebrine lygtimi, vadinama algebrine, visos kitos kreivės vadinamos transcendenčiosiomis. Svarbios plokščiosios algebrinės kreivės, reiškiamos lygtimi F(x, y) = 0, kai F(x, y) – kintamųjų x, y daugianaris. Daugianario laipsnis n vadinamas kreivės eile; ji parodo, kiek kreivių turi susikirtimo taškų (realių arba menamų, kartais ir sutampančių) su tiese. I eilės kreivės yra tiesės, II eilės svarbiausios kreivės yra apskritimas, elipsė, hiperbolė, parabolė; III eilės kreivės yra pvz., Descartes’o lapas, kubinė parabolė, IV eilės – astroidė, Bernoulli lemniskatė, Descartes’o ovalas. Transcendenčiosios kreivės yra trigonometrinių funkcijų, rodiklinės funkcijos, logaritminės funkcijos grafikai, Archimedo spiralė, cikloidė, grandininė kreivė. Kartais kreive laikoma aibė plokštumos (erdvės) taškų, kurių koordinatės yra vieno kintamojo funkcijos. Tokią kreivę galima išreikšti parametrine forma. Plokščiosios kreivės parametrinės lygtys yra x = x(t), y = y(t), erdvinės (trimatėje erdvėje) – x = x(t), y = y(t), z = z(t); čia x(t), y(t), z(t) – tolydžiosios kuriame nors baigtiniame ar begaliniame skaičių tiesės intervale t funkcijos. Diferencialinėje geometrijoje toms funkcijoms keliamos diferencijuojamumo iki tam tikros eilės sąlygos. Kreivių savybes nagrinėja kreivių teorija. 1882 C. Jordanas apibrėžė kreivę (ji vadinama Jordano, arba paprastąja, kreive) kaip aibę skirtingų plokštumos taškų M(x, y) (jų koordinatės x = x(t), y = y(t) yra parametro t∈[a, b] tolydžiosios funkcijos), atitinkančių skirtingas t∈(a, b) reikšmes. Taigi Jordano kreivė neturi kartotinių taškų. Jei kreivės pradžios ir galo taškai sutampa, ji vadinama uždarąja. 1882 C. Jordanas įrodė, kad kiekviena uždaroji kreivė plokštumą dalija į dvi sritis, kurių bendras kontūras yra ta kreivė. Jordano kreivė vadinama glodžiąja, kai funkcijos x(t) ir y(t) yra tolydžiai diferencijuojamos, t. y. jų išvestinės yra tolydžiosios funkcijos. Jei kreivę galima suskaidyti į baigtinį skaičių glodžiųjų kreivių, ji vadinama dalimis glodžia kreive. Kreivė vadinama ištiesinamąja, jei visų į ją įbrėžtų laužčių ilgių $\sum _{i=1}^n∆l_i$ aibė yra aprėžtoji. Kai kreivė yra Jordano, apibrėžta lygtimis x = x(t), y = y(t) ir intervalo [a, b] dalijimo taškai yra t_i (i = 0, 1, …, n), laužtės kraštinių ilgis $∆l_i=\sqrt{{(x(t_i)-x(t_{i-1}))}^2+{(y(t_i)-y(t_{i-1}))}^2}$. C. Jordanas įrodė, kad Jordano kreivė yra ištiesinamoji tada ir tik tada, kai x(t) ir y(t) yra baigtinės variacijos funkcijos intervale [a, b]. 1890 G. Peano įrodė, kad egzistuoja tokios Jordano kreivės, kurios gali skirtis nuo įsivaizduojamų kreivių. Funkcijų teorijoje kreivės apibrėžimą pateikė Pavelas Urisonas (SSRS). Kreive jis pavadino kiekvieną vienmatį kontinuumą.

2608