kreiviniai integralai

kreivinio integralo grafinė interpretacija

kreivniai integrãlai, integralinių sumų ribos plokščiąja arba erdvine kreive. Plokščiąja glodžiąja kreive L kreiviniai integralai yra dviejų tipų: $\underset{L}{\int }$f(x, y)ds ir $\underset{L}{\int }$P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Pirmojo tipo kreivinis integralas $\underset{L}{\int }$f(x, y)ds apibrėžiamas kaip baigtinė integralinės sumos $\sigma =\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\cdot ∆s_i$ riba, kai n→∞ ir maxΔs_i→0; čia Δs_i yra kreivės L lanko A_i–1A_i ilgis, f(x_i, y_i) – dviejų kintamųjų tolydžiosios funkcijos f(x, y) reikšmės, apskaičiuotos laisvai parinktuose lankų A_i–1A_i taškuose M_i(x_i, y_i). Pirmojo tipo kreivinis integralas nepriklauso nuo kreivės krypties: $\underset{\mathit{AB}}{\int }$(x, y)ds $=\underset{\mathit{BA}}{\int }$(x, y)ds. Antrojo tipo bendrasis kreivinis integralas $\underset{L}{\int }P$(x, y)dx + Q(x, y)dy gaunamas sudėjus du antrojo tipo koordinatinius kreivinius integralus $\underset{L}{\int }P$(x, y)dx + $\underset{L}{\int }Q$(x, y)dy = \( \lim\limits_{\underset{\mathrm{max} \:\Delta x_i \to 0 }{n \to \infty}} \sum\limits_{i=1}^{n} P(x_i, y_i) \cdot \Delta x_i + \lim\limits_{\underset{\mathrm{max} \:\Delta y_i \to 0 }{n \to \infty}} \sum\limits_{i=1}^{n} Q(x_i, y_i) \cdot \Delta y_i \); čia Δx_i ir Δy_i – lanko A_i–1A_i projekcijos koordinačių ašyse Ox ir Oy (gali būti ir neigiamos).

Jei glodžiosios kreivės L lygtis plokštumoje xOy yra y = y(x), x∈[a, b], pirmojo tipo kreivinis integralas išreiškiamas apibrėžtiniu integralu: $\underset{L}{\int }f(x,y)\mathrm{d}s=$ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y(x))\sqrt{1+{(y^{\text{'}}(x))}^2}\mathrm{d}x$. Jei kreivė L apibrėžta parametrinėmis lygtimis x = x(t), y = y(t), t∈[a, b], tada pirmojo tipo kreivinis integralas išreiškiamas apibrėžtiniu integralu: $\underset{L}{\int }f(x,y)\mathrm{d}s=$ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x(t),y(t))\sqrt{{(x^{\text{'}}(t))}^2+{(y^{\text{'}}(t))}^2}\mathrm{d}t$. Taikant pirmojo tipo kreivinį integralą galima apskaičiuoti cilindrinio paviršiaus plotą, kreivės lanko ilgį, kreivės masę (kai žinomas tankis), kreivės masės centro koordinates. Antrojo tipo kreivinis integralas apskaičiuojamas pakeičiant jį t. p. apibrėžtiniu integralu. Jei kreivės L = AB lygtis yra y = y(x), taškų A ir B abscisės yra a ir b, tai antrojo tipo kreivinis integralas išreiškiamas apibrėžtiniu integralu: $\underset{\mathit{AB}}{\int }P$(x, y)dx + Q(x, y)dy = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$(P(x, y(x)) + Q(x, y(x))dx · y′(x)dx. Taikant antrojo tipo kreivinį integralą galima apskaičiuoti jėgų lauko F = P(x, y)·e_x + Q(x, y)·e_y darbą. Kai kreivė L yra uždaroji, kreivinis integralas žymimas $\underset{L}{\oint }P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$. Jam teisinga Greeno formulė, siejanti jį su dvilypiu integralu. Kreivinį integralą uždaruoju ir neuždaruoju kontūru, pointegralinį reiškinį Pdx + Qdy ir funkcijas P, Q sieja keturi ekvivalentūs teiginiai: kreivinis integralas $\underset{\mathit{AB}}{\int }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ nepriklauso nuo integravimo kelio, kreivinis integralas uždaruoju kontūru lygus 0 $\left(\underset{L}{\oint }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0\right)$, reiškinys Pdx + Qdy yra pilnasis diferencialas, funkcijų P, Q dalinės išvestinės yra lygios $\left(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\right)$. Ši kreivinių integralų savybė taikoma sprendžiant pirmosios eilės diferencialines lygtis pilnaisiais diferencialais, t. y. lygtis Pdx + Qdy = 0, kurioms teisinga lygybė $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$. Erdvine glodžiąja kreive kreiviniai integralai apibrėžiami panašiai kaip ir kreiviniai integralai plokščiąja kreive. Jie t. p. yra dviejų tipų: $\underset{L}{\int }f$(x, y, z)ds ir $\underset{L}{\int }P$(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. Antrojo tipo kreivinis integralas uždarąja kreive $\underset{L}{\oint }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ apibrėžia vektorinio lauko a(x, y, z) = P(x, y, z)·e_x + Q(x, y, z)·e_y + R(x, y, z)·e_z cirkuliaciją, kurios fizikinė prasmė yra lauko jėgų darbas uždarąja kreive.

Pirmasis kreivinius integralus 1743 nagrinėjo A. C. Clairaut. Jis suformulavo integralo nepriklausomumo nuo integravimo kelio sąlygą. Bendrojo pavidalo kreivinį integralą 1825 nagrinėjo A.‑L. Cauchy. Kreivinio integralo uždaruoju kontūru ženklą 1923 pasiūlė H. A. Kramersas.