Lagrange’o daugiklių metodas

Lagrange’o daugiklių metodas (Lagránžo daugklių metòdas), funkcijos arba funkcionalo sąlyginio ekstremumo radimo būdas. Juo remiantis sudaroma nauja funkcija (funkcionalas), kurios ekstremumai tam tikromis sąlygomis sutampa su pradinės funkcijos (funkcionalo) sąlyginiais ekstremumais. Jei funkcijos f(x₁, …, x_n) argumentai x₁, …, x_n susieti sąlygomis φ_i(x₁, …, x_n) = 0, (i = 1, …, m < n), ieškant funkcijos sąlyginių ekstremumų sudaroma m + n kintamųjų funkcija $F(x_1,\mathrm{...},{\lambda }_1,\mathrm{...},{\lambda }_m)=f(x_1,\mathrm{...},x_n)+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i\cdot {\phi }_i(x_1,\mathrm{...},x_n)$, kurios kintamieji x₁, …, x_n, λ₁, …, λ_m laikomi nepriklausomais. Funkcija F vadinama Lagrange’o funkcija, o kintamieji λ₁, …, λ_m – Lagrange’o daugikliais. Lagrange’o funkcijos ekstremumo taškai randami iš lygčių $\frac{\partial F}{\partial x_j}=0(j=1,\mathrm{...},n)$, φ_i(x₁, …, x_n) = 0 (i = 1, …, m) sistemos. Ekstremumai randami ištyrus funkcijos F antrąjį diferencialą. Kai n = 2 ir m = 1, sudaroma Lagrange’o funkcija su vienu daugikliu: F(x, y, λ) = f(x, y) + λ·φ(x, y). Jos stacionariajame taške M₀(x₀, y₀, λ₀), kuriame dalinės išvestinės $\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial \lambda }$ = 0, Lagrange’o funkcijos antrojo diferencialo reikšmės ženklas sutampa su determinanto $∆=-\left|\begin{array}{c}0\\ {\phi }_x^{\text{'}}(M_0)\\ {\phi }_y^{\text{'}}(M_0)\end{array}\begin{array}{c}{\phi }_x^{\text{'}}(M_0)\\ F_{\mathit{xx}}^{\text{'}\text{'}}(M_0)\\ F_{\mathit{xy}}^{\text{'}\text{'}}(M_0)\end{array}\begin{array}{c}{\phi }_y^{\text{'}}(M_0)\\ F_{\mathit{xy}}^{\text{'}\text{'}}(M_0)\\ F_{\mathit{yy}}^{\text{'}\text{'}}(M_0)\end{array}\right|$ ženklu. Kai ∆ > 0, funkcija f(x, y) taške M₀ įgyja sąlyginį minimumą, kai ∆ < 0 – sąlyginį maksimumą. 1797 Lagrange’o daugiklių metodą panaudojo J. L. de Lagrange’as ieškodamas funkcijos sąlyginių ekstremumų, vėliau pritaikė spręsdamas izoperimetrinį variacinio skaičiavimo uždavinį. Lagrange’o daugiklių metodas dar naudojamas diferencialiniame skaičiavime, optimizavimo teorijoje.