laipsninių eilučių metodas

láipsninių eilùčių metòdas, apytikslių funkcijos reikšmių, šaknies reikšmių, apibrėžtinių integralų ir diferencialinių lygčių sprendimo būdas taikant laipsnines eilutes. Pvz., norint apytiksliai apskaičiuoti ln 3 reikšmę taikoma laipsninė eilutė $\ln \frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\mathrm{...}\right)$, kuri teisinga, kai |x| < 1. Joje įrašius $x=\frac{1}{2}$ gaunama ln 3 eilutė: $\ln 3=1+\frac{1}{2^2\cdot 3}+\frac{1}{2^4\cdot 5}+\mathrm{..}.$. Norint apytiksliai apskaičiuoti šaknį $\sqrt[k]{a}$ taikoma binominė eilutė ${(1+x)}^n=1+\mathit{nx}+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^2+\mathrm{...}$, kai $n=\frac{1}{k}$. Laipsninėje eilutėje ${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$ pakeitus kintamąjį x kintamuoju –x² gaunama eilutė ${\mathrm{e}}^{-x^2}=1-\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}-\mathrm{...}$. Šią eilutę panariui suintegravus galima apytiksliai apskaičiuoti, pvz., integralą $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$. Taikant atitinkamas laipsnines eilutes galima apytiksliai apskaičiuoti, pvz., tokius integralus: $\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\arctan x}{x}\mathrm{d}x$, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{x}\mathrm{d}x$. Diferencialinės lygties y″ = xy, kurios pradinės sąlygos y(0) = 1, y′(0) = 0, sprendinį y(x) galima ieškoti laipsninės eilutės pavidalu: y = a₀ +a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + … . Atsižvelgus į pradines sąlygas gaunama, kad a₀ = 1, a₁ = 0, tada y = 1 + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴+ a₅x⁵ + … , y′ = 2a₂x + 3a₃x² + 4a₄x³ + 5a₅x⁴ + … , y″ = 2a₂ + 3∙2a₃x + 4∙3a₄x² + 5∙4a₅x³ + … . Nežinomi sprendinio eilutės koeficientai randami iš tapatybės 2a₂ + 6a₃x + 12a₄x² + 20a₅x³+ … ≡ x + a₂x³ + a₃x⁴ + … sulyginus vienodų x laipsnių koeficientus: a₂ = 0, $a_3=\frac{1}{6}$, a₄ = 0, a₅ = 0, … .