Laplace’o lygtis

Laplace’o lygtis (Laplãso lygts), antrosios eilės dalinių išvestinių lygtis $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+\mathrm{...}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_n^2}=0$. Užrašoma ∆u = 0 taikant Laplace’o operatorių. Kai n = 2, Laplace’o lygtis $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$, kurioje u = u(x, y) – dviejų nepriklausomų kintamųjų x, y funkcija. Šios lygties sprendiniai vadinami harmoninėmis funkcijomis. Bet kuri analizinė kompleksinio kintamojo z = x + iy funkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) yra lygties $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$ sprendinys. Funkcijos f(z) realioji dalis u ir menamoji dalis v t. p. yra šios lygties sprendiniai, jos vadinamos jungtinėmis harmoninėmis funkcijomis. Laplaceʼo lygtį naudojo L. Euleris (1761) ir J. Le R. d’Alembert’as (1761) spręsdami hidromechanikos uždavinius, P. S. de Laplace’as (1782, 1799) nagrinėdamas gravitacijos potencialo ir dangaus mechanikos uždavinius. Naudojant Laplaceʼo lygtį sprendžiami elipsinių lygčių kraštiniai uždaviniai. Laplaceʼo lygtis yra daugelio idealizuotų stacionariųjų procesų matematinis modelis.