Laplace’o teorema

Laplace’o teorema (Laplãso teoremà), determinantas $D=\left|\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{i1}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{n1}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{i2}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{n2}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{\mathit{ij}}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{\mathit{nj}}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ \mathrm{...}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{}\end{array}\\ \mathrm{...}\\ a_{\mathit{nn}}\end{array}\right|$ lygus bet kurios eilutės arba bet kurio stulpelio elementų ir jų adjunktų sandaugų sumai: D = a_i1·A_i1 + a_i2·A_i2 + … + a_ij·A_ij + … + a_in·A_in = a_1j·A_1j + a_2j·A_2j + … + a_ij·A_ij + … + a_nj·A_nj (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n). Šį teiginį stulpeliams 1683 suformulavo G. W. Leibnizas. 1773 įrodė P. S. de Laplace’as. Bendruoju atveju Laplace’o teorema formuluojama taip: n eilės determinantas yra lygus k (1 ≤ k < n) eilės minorų, sudarytų iš k fiksuotų eilučių, ir jų adjunktų sandaugų sumai. Jei k eilės minoras M_k sudarytas iš eilučių, kurių numeriai i₁, i₂, …, i_k, ir stulpelių, kurių numeriai j₁, j₂, …, j_k, n – k eilės minoras D_{n – k} gautas iš pradinio determinanto išbraukus minoro M_k eilutes ir stulpelius, s = i₁ + i₂ +…+ i_k, t = j₁ + j₂ +…+ j_k, tai minoro M_k adjunktu vadinama sandauga (–1)^s + t·D_{n – k}. Bendrąją Laplace’o teoremą 1779 įrodė A.‑L. Cauchy.