Laplace’o transformacija

Laplace’o transformacija (Laplãso transformãcija), integralinė transformacija, keičianti realiojo kintamojo t funkciją f(t) kompleksinio kintamojo p funkcija F(p) taip: $F(p)=L(f)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-\mathit{pt}}\mathrm{d}t$. Funkcija f vadinama pirmavaizdžiu, F – vaizdu. Laplace’o transformacijai būdingas tiesiškumas – $L\left(\sum _{k=1}^n{c}_k{f}_k(t)\right)=\sum _{k=1}^n{c}_k{F}_k(p)$, panašumas – $\mathit{Lf}(\beta t)=\frac{1}{\beta }F\left(\frac{p}{\beta }\right)$, postūmis – $L(e^{\alpha t}f(t))=F(p-\alpha )$. Galioja šios Laplace’o transformacijos teoremos: pirmavaizdžio diferencijavimo – Lf′ (t) = pF(p) – f(0), pirmavaizdžio integravimo – $L\left(\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(y)\mathrm{d}y\right)=\frac{F(p)}{p}$, vaizdo diferencijavimo – L (–tf(t)) = F′(p), vaizdo integravimo – $L\left(\frac{f(t)}{t}\right)=\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(z)\mathrm{d}z$, vaizdų daugybos, arba pirmavaizdžių sąsūkos, – $L(f_1(t)\ast f_2(t))=F_1(p)\cdot F_2(p)$. Laplaceʼo transformaciją 1737 taikė L. Euleris spręsdamas diferencialines lygtis, aprašė P. S. de Laplace’as knygoje Analizinė tikimybių teorija (Théorie analytique des probabilités 1812). Laplaceʼo transformacija taikoma elektrotechnikoje, hidrodinamikoje, mechanikoje, operaciniame skaičiavime.