Laurent’o eilutė

Laurent’o eilutė (Lorãno eilùtė), kompleksinio kintamojo funkcijos f(z) eilutė, turinti ir teigiamuosius, ir neigiamuosius laipsnių rodiklius. Jei z = z₀ yra funkcijos f(z) izoliuotasis ypatingasis taškas, tai jo aplinkoje 0 < |z – z₀| < r Laurent’o eilutė yra tokia: $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{(z-z_0)}^n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_{-n}}{{(z-z_0)}^n}$. Koeficientų formulė: c_n = $\frac{1}{2\mathrm{\pi }\mathrm{i}}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(\xi )}{{(\xi -z_0)}^{n+1}}\mathrm{d}\xi$, n = 0, ±1, ±2, …; čia γ – bet kuris apskritimas |z – z₀| = δ < r. Koeficientas c_–1 vadinamas funkcijos f(z) reziduumu taške z = z₀: $c_{-1}=\underset{z=z_0}{\mathrm{Res}}f(z)$. Kiekviena analizinė žiede r < |z – z₀| < R funkcija f(z) išskleidžiama konverguojančia šiame žiede Laurent’o eilute (šią teoremą 1843 įrodė prancūzų matematikas P. A. Laurent’as). Eilutės dalis $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{(z-z_0)}^n$ vadinama reguliariąja, o dalis su neigiamaisiais laipsnių rodikliais $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_{-n}}{{(z-z_0)}^n}$ – pagrindine dalimi. Pvz., funkcijos $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}$ Laurent’o eilutė skritulyje |z| < 1 sutampa su Maclaurino eilute ir yra $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)z^n$, žiede 1 < |z| < 2 $f(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^n}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{2^{n+1}}$, skritulio išorėje |z| > 2 (begalybės aplinkoje) $f(z)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{n-1}-1}{z^n}$. Turint funkcijos f(z) Laurent’o eilutę galima nustatyti izoliuotojo ypatingojo taško z₀ tipą (ypatingasis taškas): kai eilutė neturi pagrindinės dalies, z₀ vadinamas pašalinamuoju ypatinguoju tašku, kai pagrindinė dalis turi tik baigtinį narių skaičių ir c_–k ≠ 0, c_–(k+1) = c_–(k+2) = … = 0, z₀ vadinamas k eilės poliumi, kai eilutės pagrindinė dalis turi be galo daug narių, z₀ – esmingai ypatinguoju tašku. Funkcijos f(z) Laurent’o eilutė be galo nutolusio taško z = ∞ aplinkoje yra tokia: $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_{-n}}{z^n}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$. Šios eilutės pirmoji dalis vadinama reguliariąja, antroji dalis, turinti teigiamuosius laipsnių rodiklius, – pagrindine. Jei pagrindinės dalies nėra, taškas z = ∞ vadinamas pašalinamuoju ypatinguoju tašku, jei pagrindinė dalis turi tik baigtinį narių skaičių, vadinamas poliumi, jei pagrindinė dalis turi be galo daug narių, vadinamas esmingai ypatinguoju tašku.

Laurent’o eilutes pirmasis 1748 naudojo L. Euleris, vėliau K. Weierstrassas, Paulis Matthieu Hermannas Laurent’as (Prancūzija), pavadinta prancūzų matematiko Pierreʼo Alphonseʼo Laurent’o vardu.