Leontiefo modelis

Leontiefo modelis (Leòntjevo mòdelis), Leontiefo sąnaudų ir produkcijos analizės metodas (Leòntjevo snaudų ir prodùkcijos anãlizės metòdas), tarpšakinio balanso matematinė išraiška. Pagal Leontiefo modelį šalies ūkis suskirstomas į n gamybos šakų, kiekviena iš jų gamina vieno tipo gaminius. Produkcijos vienetu dažniausiai laikoma jos vertinė išraiška. Jei per tam tikrą laikotarpį i gamybos šaka pagamina x_i produkcijos vienetų, iš kurių j šaka savo gaminių gamybai suvartoja x_ij vienetų, i šakos produktų, sunaudotų gaminant gaminius visose n gamybos šakose, kiekis lygus $\sum _{j=1}^n{x}_{\mathit{ij}}$. Skirtumas $x_i-\sum _{j=1}^n{x}_{\mathit{ij}}=d_i$ yra gamybos perviršis. Jei d_i ≥ 0, ne visa i šakos produkcija sunaudojama gamyboje ir likutis kaip prekė naudojamas negamybinėje sferoje. Jei d_i < 0, ši šaka nepajėgi patenkinti net gamybos sferos poreikių. Vektorinė lygybė x – Ax = b išreiškia sąnaudų ir produkcijos modelį; čia x = (x₁, x₂, …, x_n), b = (b₁, b₂, …, b_n), a_ij = x_ij/x_j; A = (a_ij). Matrica A vadinama technologine, arba Leontiefo, matrica, jos elementai a_ij (sąnaudų arba technologiniai koeficientai) rodo, kiek reikia i šakos produkcijos vienetų norint pagaminti j šakos produkcijos vienetą. Jei vektoriaus b koordinatės yra negamybinės sferos papildomi užsakymai, Leontiefo modelis vadinamas atviruoju. Šiuo atveju gamintojai privalo pagaminti produkcijos ne tik gamybos sąnaudoms, bet ir pagal negamybinės sferos užsakymus. Remiantis matricų teorijos teiginiais galima visiškai išanalizuoti ekonomiką ir nustatyti, ar ji pajėgi įvykdyti užsakymus. Jei matricos A spektrinis spindulys mažiau kaip 1, lygčių sistema vienareikšmiškai išsprendžiama, gamyba pajėgi įvykdyti visus vidinius ir išorinius užsakymus. Lygčių sistemos sprendinys yra gamybos apimtis. Jei spektrinis spindulys daugiau kaip 1, gamyba visko nepagamina, tada reikia tirti ir nustatyti, kurioms šakoms ir kiek reikia investicijų. Jei vektorius b yra nulinis b = 0 (nėra gamybos užsakymų), Leontiefo modelis vadinamas uždaruoju. Tokiame modelyje x – Ax = 0, arba Ax ≤ x, ir laikoma, kad gamybos šaka gamina n – 1 skirtingą gaminį, o n nežinomuoju laikomas gamybos technologinis pajėgumas. Tada nagrinėjama gamybos lygio ir esamos technologijos be išorinių užsakymų pusiausvyra. Uždarasis modelis gali būti ir tarptautinės prekybos modeliu, pvz., n šalių prekiauja viena su kita, i šalies pajamos iš vidaus ir užsienio prekybos lygios x_i. Jei prekybos sistema nusistovėjusi, šalies pajamų dalis a_ij, kurią ji gauna importuodama prekes iš j šalies, yra pastovi ir teisinga lygčių sistema $\sum _{i=1}^n{a}_{\mathit{ij}}{x}_j=x_i$, i = 1, 2, …, arba vektorinė lygtis Ax = x. Jei prekybiniai santykiai nekinta, pradinis pelno pasiskirstymo vektorius yra $x^0=(x_1^0,x_2^0,\dots ,x_n^0)$, po k etapų pelnas lygus x^k = A^kx⁰, galutinis – $\underset{k\to \infty }{\text{lim}}{A}^k{x}^0=z$. Sunormavus vektorių z (t. y. $\sum _{i=1}^n{z}_i=1$) randama, kad i šalis po tam tikro laikotarpio gautų pelną x_i = z_iN, kai N – bendras visų šalių pelnas. Šalis, kurios pelnas mažėja, gali reikalauti peržiūrėti prekybinius santykius. Šiuo atveju modelį išreiškia nelygybė x ≤ A^Tx. Iš jos išplaukia, kad vienai šaliai padidinus pelną ir nepakeitus prekybinių santykių bent vieno iš partnerių pelnas sumažėja.

1936 modelį sukūrė ir pagrindė W. Leontiefas.

3034