Lobačevskio neeuklidinė geometrija

lygiagrečiosios tiesės

Lobačèvskio neeukldinė geomètrija, hiperbolnė geomètrija, pagrįsta euklidinės geometrijos Euklido aksiomų sistema, kurioje Euklido lygiãgrečių aksioma (Euklido V postulatas) pakeista Lobačevskio aksioma: per tašką, nesantį tiesėje, taško ir tiesės plokštumoje galima nubrėžti mažiausiai 2 tieses, nekertančias turimos tiesės. Lobačevskio neeuklidinė geometrija tiria Lobačevskio plokštumos ir Lobačevskio erdvės savybes. Erdvė, kurioje galioja absoliučioji geometrija ir Lobačevskio aksioma, vadinama Lobačevskio erdve, o bet kuri šios erdvės plokštuma – Lobačevskio plokštuma. Lobačevskio plokštumoje per bet kurį tašką A galima nubrėžti be galo daug tiesių, kurios tiesę a kerta (b₁, b₂, …) ir nekerta jos (c₁, c₂, …). Yra 2 tiesės d₁ ir d₂, kurios atskiria tieses b₁, b₂, … nuo tiesių c₁, c₂, … . Jos nekerta tiesės a ir vadinamos lygiagrečiomis su tiese a.

Kampas tarp lygiagretumo rodyklės AP (AP statmena tiesei a) ir tiesės d₁ ar d₂ vadinamas lygiagretumo kampu ω; ω yra vienareikšmė lygiagretumo rodyklės AP = x funkcija, analiziškai reiškiama formule $\omega =\pi (x)=2\text{arctg}{e}^{\frac{-x}{\rho }}$; čia ρ – konstanta, vadinama Lobačevskio erdvės kreivumo spinduliu. Skaitinė ρ reikšmė lygi horociklo (kreivės, kuri yra turimos krypties lygiagrečiųjų tiesių pluošto plokštumoje ortogonali trajektorija, vienas galimų apskritimų) lanko AB ilgiui, kai per taškus A ir B einančių pluošto lygiagrečiųjų tiesių lygiagretumo kampas ω = 45°. Lygiagrečios tiesės lygiagretumo kryptimi asimptotiškai artėja, o priešinga kryptimi be galo tolsta. Plokštumos juostą tarp bet kurių 2 lygiagrečių tiesių galima sutapdinti su juosta tarp bet kurių kitų dviejų lygiagrečių tiesių. Lobačevskio plokštumoje tiesių pluoštai yra trejopi: elipsinis, parabolinis ir hiperbolinis; jų ortogonãliosios trajektorijos atitinkamai yra apskritimas, heterociklas, ekvidistantė. Lobačevskio erdvėje tiesių grįžtės yra trejopos: elipsinės, parabolinės, hiperbolinės; joms statmeni paviršiai atitinkamai yra sfera, horosfera (paviršius, ortogonalus lygiagrečiųjų tiesių grįžtei), hipersfera.

Remiantis Lobačevskio aksioma formuluojami ir įrodomi Lobačevskio neeuklidinės geometrijos teiginiai: tiesės statmuo ir pasviroji ne visuomet susikerta; nėra panašių nelygių trikampių; ne per kiekvieną kampo vidaus tašką galima nubrėžti tiesę, kuri kirstų abi kraštines; trikampio kampų suma mažesnė už π ir priklauso nuo trikampio ploto: jei A, B, C – trikampio kampai, S – plotas, tai $A+B+C=\text{π}-\frac{S}{{\rho }^2}$; didžiausias trikampio, kurio A + B + C = 0, plotas S = ρ²π; skritulio su spinduliu R plotas $S=\mathrm{4\pi }{\rho }^2{\text{sh}}^2\frac{R}{2\rho }$. Lobačevskio neeuklidinės geometrijos trigonometriją sudaro formulės, kurios sieja bet kokio trikampio 6 elementus (kraštines a, b, c ir prieš jas esančius kampus A, B, C): 1) $\frac{\text{sh}\frac{a}{\rho }}{\sin A}=\frac{\text{sh}\frac{b}{\rho }}{\sin B}=\frac{\text{sh}\frac{c}{\rho }}{\sin C}$ (sinusų teorema), 2) $\text{ch}\frac{a}{\rho }=\text{ch}\frac{b}{\rho }\text{ch}\frac{c}{\rho }-\text{sh}\frac{b}{\rho }\text{sh}\frac{c}{\rho }\cos A$ (kosinusų teorema). Pastarojoje lygtyje cikliškai sukeitus a, b, c gaunamos dar 2 lygtys. Iš jų bet kurią trikampio kraštinę galima išreikšti jo kampais, pvz., $\text{ch}\frac{c}{\rho }=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}$. Lobačevskio plokštumoje galioja Pitagoro teoremos analogas: $\text{ch}\frac{a}{\rho }=\text{ch}\frac{b}{\rho }\text{ch}\frac{c}{\rho }$ čia a – trikampio kraštinė prieš statųjį kampą A.

kreivumo spindulio ρ geometrinė interpretacija

Jei ρ yra pakankamai didelis, palyginti su matuojamais dydžiais, tai, hiperbolinių funkcijų dėstiniuose laipsninėmis eilutėmis imant tik narius su laipsnio rodikliais n ≤ 2, Lobačevskio neeuklidinės geometrijos ir euklidinės geometrijos trigonometrinės formulės sutampa. Vadinasi, pakankamai mažoje aplinkoje galioja euklidinė geometrija. Euklidinė geometrija yra Lobačevskio neeuklidinės geometrijos ribinis atvejis, kai ρ → ∞. Lobačevskio neeuklidinė geometrija naudojama automorfinių funkcijų teorijoje, skaičių teorijoje, bendrojoje ir specialiojoje reliatyvumo teorijoje.

Istorija

Kleino modelis

Lobačevskio neeuklidinė geometrija sukurta 19 a. pirmoje pusėje. Priimdamas kitokią negu euklidinės geometrijos lygiãgrečių aksiomą, 1826 N. Lobačevskis sukūrė Lobačevskio neeuklidinę geometriją kaip galimą erdvinių santykių teoriją. Atskirai tokią pačią teoriją 1832 sukūrė Jánosas Bolyai (Vengrija). Lobačevskio neeuklidinė geometrija buvo pripažinta ne iš karto, nes dauguma jos dėsnių prieštarauja žmogaus vaizduotei, be to, nebuvo loginio pagrindimo. 1868 E. Beltrami įrodė, kad Lobačevskio neeuklidinė geometrija turi realią interpretaciją, kad dalį Lobačevskio plokštumos galima izometriškai atvaizduoti į pastovaus neigiamo kreivumo paviršių, pvz., į pseudosferą. 1871 F. Ch. Kleinas sukūrė Lobačevskio plokštumos ir erdvės modelį, kuriame Lobačevskio plokštuma laikoma apskritimo vidus, tiesėmis – apskritimo stygos. Judesiai yra projekcinės transformacijos, kurios kreivę atvaizduoja į save pačią. Per tašką A galima nubrėžti be galo daug tiesių c, kurios tiesės a nekerta; tiesės d₁ ir d₂ yra lygiagrečios su tiese a. Erdvės Lobačevskio neeuklidinė geometrija realizuojama sferos viduje. 1883 J. H. Poincaré sudarė Lobačevskio neeuklidinės geometrijos modelį, kuriame Lobačevskio neeuklidinės geometrijos plokštuma laikoma apskritimo vidus, o tiesėmis – apskritimų lankai, statmeni turimam apskritimui, judesiais – konforminės transformacijos.

-lygiagretumo kampas