logicizmas

logiczmas, matematikos pagrindų kryptis, teigianti, kad visą matematiką galima redukuoti į logiką ir laikyti logikos dalimi. Dėl to matematikos pradinės sąvokos turi būti apibrėžtos logikos terminais, o matematikos teiginiai suformuluoti logikos kalba ir įrodomi dedukciškai pagal loginių skaičiavimų taisykles. Matematiką pagrįsdami logika logicizmo atstovai pastarąją laiko pirmesne už matematiką – matematinės tiesos yra loginių tiesų poklasis. Logicizmo pradininkas G. W. Leibnizas teigė, kad logika grindžiami visų mokslų principai ir sąvokos, o matematika yra logikos dalis. F. L. G. Frege natūraliųjų skaičių aritmetiką bandė išreikšti pagal logicizmo nuostatas (Pagrindiniai aritmetikos dėsniai / Grundgesetze der Arithmetik 2 t. 1893–1903). B. Russellas F. L. G. Frege’s sistemoje atrado prieštaravimą (vadinamasis Russello paradoksas) ir kartu su A. N. Whiteheadu veikale Matematikos principai (Principia Mathematica 3 t. 1910–13) siekė jį pašalinti, o logicizmą plėtoti tipų teorijos pagrindu. Veikale siekta parodyti, kad grynoji matematika gali būti išvesta iš griežtų logikos principų ir vartoti tik loginiais terminais apibrėžiamas sąvokas. Logicizmas neteigia, kad kiekvienas matematinis simbolis ar simbolių kombinacija turi jų loginės išraiškos atitikmenį. Matematikos kontekstinės išraiškos gali būti išverstos į išraiškas, kurias sudaro vien logikos terminai ir kurios nuo pirmųjų nesiskiria savo teisingumo reikšme. Vėlesnė logicizmo raida parodė, kad būtinų loginių sąvokų reikia net mažiau nei numatė B. Russellas ir A. N. Whiteheadas – būtinomis laikoma priklausymas klasei, neigimas, alternatyva, bendrumo kvantorius, jų teisingumo reikšmės įvedamos apibrėžimais. Veikalo Matematikos principai sistemą labiau pripažino logikai, ji nebuvo visiškai formalizuota, taikė ir intuityvias prielaidas. Šios sistemos pateikimai ir aiškinimai (F. P. Ramsey, L. K. A. Chwistekas, W. V. O. Quine’as) siekė jos visiškos formalizacijos. Kitų matematikos pagrindų krypčių (intuicionizmo ir formalizmo) atstovai logicizmą kritikavo dėl jame priimtų egzistavimo, redukuojamumo ir kitų aksiomų. Aibes redukavus į propozicines funkcijas šios vis tiek liko savybes ir santykius žyminčiomis universalijomis. Logicizmo programa susiduria ne tik su loginio (objektas apibrėžiamas išraiška, kurios elementas yra pats apibrėžiamasis objektas), bet ir su matematinio pobūdžio sunkumais. Terminu logika B. Russellas ir A. N. Whiteheadas žymėjo formalizuotą kalbą, kuriai nustatytos loginio skaičiavimo taisyklės. Redukuodami matematiką į logiką jie turėjo priimti ir aksiomas, priklausančias ne logikos, bet aibių teorijos sričiai, todėl susidūrė su problemomis, kylančiomis dėl aibės sampratos. Paaiškėjus, kad veikalo Matematikos principai tipo sistemos yra nepilnos ir negali visos matematikos redukuoti į logiką, logicizmo programa pasirodė neįgyvendinama. K. Gödelio tyrimai atskleidė šių sistemų neišsprendžiamumą – jose yra formulių, kurios neįrodomos ir nepaneigiamos sistemose priimto loginio skaičiavimo priemonėmis. Logicizmas pateikė logikai reikšmingų rezultatų – paradoksų tyrimą, loginių tipų, deskripcijų teoriją ir kita. B. Russello, F. Ramsey, W. V. O. Quine’o veikalai turėjo įtakos šiuolaikinės logikos raidai.

L: B. Russell Introduction to Mathematical Philosophy London 1920; A. A. Fraenkel, T. Bar-Hillel Foundations of Set Theory Amsterdam 1958; W. Quine The Ways of Paradox and Other Essays Harvard 1976.

314