logikos algebra

lògikos álgebra, matematinės logikos skyrius, tiriantis teiginių logiką. Klasikinė (dvireikšmė) teiginių logika teiginiu laiko kiekvieną teisingą arba klaidingą sakinį. Paprastas teiginys neskaidomas į kitus teiginius (pvz., 3 > 2), sudėtiniai teiginiai sudaromi iš paprastų, sujungtų loginėmis jungtimis ir, arba, jei…tai, jei ir tik jei…tai (pvz., 3 > 2 ir 4 > 3). Paprasti teiginiai žymimi raidėmis (p, q, r…), jungtys ir neigimo operacija formalizuojami –, ·, ∨, →, ~ arba kitais simboliais. Nustatomos taisyklės, kaip sudaryti formules iš alfabeto vienetų. Postuluojamos neigimo, konjunkcijos, disjunkcijos, implikacijos, ekvivalentumo teisingumo sąlygos. Jos reiškiamos matricomis (1 žymi reikšmę teisinga, 0 – klaidinga):

$\begin{array}{ccccccc}p& q& \bar{p}& p\cdot q& p\vee q& p\to q& p\sim q\\ 1& 1& 0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1\end{array}$

Ekvivalentumas traktuojamas kaip implikacija abiem kryptimis, t. y. (p→q) · (q→p). Matricos yra vienas išsprendžiamumo atradimo būdų, pvz., išraiškos $[(p\vee q)\cdot \bar{q}]\to p$ matrica yra tokia:

$\begin{array}{cccccc}p& q& \bar{q}& p\vee q& (p\vee q)\cdot \bar{q}& [(p\vee q)\cdot \bar{q}]\to p\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}$

Nustatomos bendrareikšmės išraiškos, t. y. logikos dėsniai: $p\vee \bar{p}$; [(p→q) · p]→q; [(p→q) · (q→r)]→(p→r) ir kitos. Pačiose išraiškose galima atlikti ekvivalenčius pertvarkymus, nes vienos jungtys gali būti keičiamos kitomis – konjunkcija ir neigimu, disjunkcija ir neigimu, implikacija ir neigimu, pvz.: ($(p\cdot q)\sim \overline{p\to \bar{q}}$; $(p\vee q)\sim (\bar{p}\to q)$; $(p\sim q)\sim \overline{(p\to q)\to \overline{q\to p}}$. Iš nesuderinamumo operacijos (vadinamo Schefferio štricho, žymimo simboliu "|") išvedama: $\overline{p\cdot q}\sim (\bar{p}\vee \bar{q})\sim (p\to \bar{q})$. Normaliąją formą išraiška turi tada, kai joje pasitaiko tik neigimas, konjunkcija ir disjunkcija, be to, neigimas tenka tik paprastiems teiginiams. Išraiškos konjunkcinė (arba disjunkcinė) normalioji forma yra jai ekvivalenti išraiška; ji yra disjunktyviai (arba konjunktyviai) sujungtų paprastų teiginių konjunkcija (arba disjunkcija). Konjunkcinės ir disjunkcinės normaliųjų formų standartiniai variantai yra išsprendžiamumo atradimo metodas. Jie rodo: išraiškos bendrareikšmiškumo sąlygas; ar turimoji formulė B yra formulių A₁, A₂, A₃… loginis sekmuo; kokie sekmenys išvedami iš turimųjų prielaidų ir kita. Teiginių logika yra logikos pagrindinė teorija, galiojanti visoms kitoms jos teorijoms. Teiginių skaičiavimą kūrė F. L. G. Frege, B. Russellas, A. N. Whiteheadas ir kiti. Deduktyviai aksiomiškai sudaryta teiginių logika yra sintaksiškai ir semantiškai pilnas teiginių skaičiavimas. Išsprendžiamumas teiginių logikoje t. p. eksplikuojamas natūraliosios išvados sistema ir kitais metodais. Teiginių logika taikoma technikoje ir teoriniuose moksluose. Dvireikšmės logikos algebros apibendrinimas yra daugiareikšmė logika.

L: R. Plečkaitis Logikos pagrindai Vilnius ²2006; E. Schröder Vorlesungen über die Algebra der Logik 2 Bde. Leipzig 1890–1905.

314