lyginys

lyginỹs, natūraliuoju moduliu m (m>1) yra tokia dviejų sveikųjų skaičių a ir b priklausomybė, kai skirtumas a – b dalijasi iš m. Sakoma, kad a lygsta b moduliu m, rašoma: a ≡ b(mod m). Lyginius tuo pačiu moduliu galima panariui sudėti, atimti, dauginti. Abi lyginio puses galima dauginti iš to paties sveikojo skaičiaus arba dalyti iš bendrojo jų daliklio, tarpusavyje pirminio su moduliu. Jei teisinga lygybė a = mq + r, r = 0, 1, 2, …, m – 1, r vadinamas dalybos liekana. Visus sveikuosius skaičius dalijant iš natūraliojo m galima suskaidyti į m poaibių K_r, atitinkančių r reikšmes 0, 1, 2, …, m – 1. Jie vadinami likinių moduliu m klasėmis. Rinkinys skaičių, paimtų po vieną iš kiekvienos likinių moduliu m klasės, vadinamas pilnąja likinių moduliu m sistema. Klasė K_r vadinama tarpusavyje pirmine su moduliu m, jei šios klasės skaičiai nesiprastina su m. Rinkinys φ(m) (φ(m) – Eulerio funkcija) skaičių – po vieną iš kiekvienos likinių moduliu m klasės, tarpusavyje pirminės su m, vadinamas redukuotąja likinių sistema (moduliu m). Taikant lyginių savybes galima gauti sveikojo skaičiaus dalumo iš natūraliojo skaičiaus m (m = 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, …) požymius. Jei f(x) yra n laipsnio daugianaris su sveikaisiais koeficientais f(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + … + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0), lyginys f(x) ≡ 0 (mod m) vadinamas n laipsnio lyginiu su vienu kintamuoju. Pirmojo laipsnio lyginys ax ≡ b (mod m), kai a nesidalija iš m, turi lyginio sprendinių moduliu m, kai didžiausias bendrasis daliklis (a, m) = d ir b dalijasi iš d; kai b nesidalija iš d, lyginys sprendinių neturi. Kvadratiniai lyginiai yra tokio pavidalo: ax² + bx + c ≡ 0 (mod m); čia a, b, c – sveikieji skaičiai ir a nesidalija iš m. Tokie lyginiai ekvivalentūs lyginių moduliu p^a sistemai; čia p – pirminiai m daugikliai. Lyginiai moduliu p^a sprendžiami rekurentiškai pradedant lyginiu moduliu p. Lyginys ax₂ + bx + c ≡ 0 (mod p), kai (a, p) = 1, pakeičiamas dvinariu kvadratiniu lyginiu y₂ ≡ A (mod p). Lyginys x₂ ≡ a (mod p), kai (a, p) = 1, turi arba du sprendinius (likinių moduliu p klases), arba nė vieno. Kai šis lyginys turi sprendinį, skaičius a vadinamas kvadratine liekana moduliu p, kai neturi – kvadratine neliekana mod p. Kvadratinių liekanų mod p yra $\frac{p-1}{2}$. Aukštesnių laipsnių lyginiai sprendžiami juos indeksuojant, t. y. naudojant indeksus, kurių vaidmuo sprendžiant lyginius analogiškas logaritmų vaidmeniui sprendžiant rodiklines lygtis.

Lyginio sąvoką pirmasis pavartojo C. F. Gaussas veikale Aritmetiniai tyrinėjimai (Disquisitiones Arithmeticae 1801).